ดาล็องแบร์
เพิ่มหนึ่งหน่วยหลังแพ้ ลดหนึ่งหน่วยหลังชนะ
ระบบนี้เอาชนะวงล้อไม่ได้ มันคือการเดินเงินกลยุทธ์การเดินเงินกฎใดก็ตามที่เปลี่ยนเงินเดิมพันตามผลที่ผ่านมา การเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อแพ้จะเพิ่มเงินเดิมพันหลังแพ้ ส่วนการเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อชนะจะเพิ่มหลังชนะอ่านทั้งหมด →ที่ราบเรียบที่สุดในบรรดาแบบที่พบบ่อย: เงินเดิมพันค่อย ๆ ขยับขึ้นอย่างช้า ๆ ดรอว์ดาวน์ปานกลาง และความได้เปรียบของเจ้ามือไม่ถูกแตะต้องเลย
เดินตามระบบ
แพ้แล้วขึ้นหนึ่งขั้น ชนะแล้วถอยกลับหนึ่งขั้น
เงินเดิมพันและผลลัพธ์นับเป็นหน่วยของเดิมพันเริ่มต้น
ระบบดาล็องแบร์ทำงานอย่างไร?
เดิมพันหนึ่งหน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด → แพ้ เดิมพันถัดไปก็ใหญ่ขึ้นหนึ่งหน่วย ชนะ ก็เล็กลงหนึ่งหน่วย โดยไม่ต่ำกว่าหนึ่ง มีเท่านี้ ลองนึกถึงกระดานหก: แพ้ทุกครั้งดันเงินเดิมพันขึ้นหนึ่งขีด ชนะทุกครั้งกดกลับลงมา ความเชื่อเบื้องหลังคือการชนะและการแพ้จะสมดุลกัน เงินเดิมพันจึงจะกลับมาที่ฐาน เสน่ห์ของระบบดาล็องแบร์ (D’Alembert) คือทุกคู่ของการชนะหนึ่งครั้งกับการแพ้หนึ่งครั้งที่เงินเดิมพันติดกันได้สุทธิ +1 หน่วย: เสีย 3 ได้ 4 สุทธิ +1
หนึ่งเซสชันหน้าตาเป็นอย่างไร?
นุ่มนวล โดยเงินเดิมพันค่อย ๆ คืบขึ้น เนื่องจากบนเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 การแพ้มากกว่าการชนะในอัตรา 19 ต่อ 18 เงินเดิมพันจึงค่อย ๆ ขยับขึ้นตลอดเซสชันที่ยาว และเพราะเงินเดิมพันสูงที่สุดเมื่อคุณกำลังแพ้และต่ำลงเมื่อกำลังชนะ เงินเดิมพันเฉลี่ยในช่วงที่แพ้จึงสูงกว่าในช่วงที่ชนะ เซสชันราบเรียบกว่ามาร์ติงเกลกลยุทธ์มาร์ติงเกลการเดินเงินที่เพิ่มเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้แต่ละครั้ง ดูหมวดกลยุทธ์ว่าระบบนี้ทำอะไรได้และทำอะไรไม่ได้อ่านทั้งหมด → มีดรอว์ดาวน์เงินดรอว์ดาวน์การลดลงของเงินทุนจากจุดสูงสุดถึงจุดต่ำในภายหลังภายในเซสชันเดียว ดรอว์ดาวน์สูงสุดคือการลดลงครั้งที่มากที่สุดอ่านทั้งหมด →ปานกลางและไม่มีหน้าผา และโดยเฉลี่ยเสียมากกว่าการเดิมพันคงที่กลยุทธ์การเดิมพันคงที่การเดิมพันจำนวนเงินเท่าเดิมทุกครั้งที่หมุน เป็นเส้นฐานที่ใช้เปรียบเทียบกับการเดินเงินทุกแบบอ่านทั้งหมด →เล็กน้อยเพราะเงินเดิมพันเฉลี่ยสูงกว่า
- p10 −$500
- p25 −$500
- มัธยฐาน −$500
- p75 −$500
- p90 −$500
ระบบดาล็องแบร์ได้ผลหรือไม่?
ไม่ได้ผล เซสชันที่สมดุลได้กำไร แต่เซสชันไม่ได้สมดุลอยู่ตลอด หลังชนะ w ครั้งและแพ้ l ครั้งที่เงินเดิมพันติดกัน ผลสุทธิคือ w − l หน่วย บวกค่าปรับแก้ตามตำแหน่งบนบันไดที่คุณอยู่ ถ้า w = l ผลคือ +w หน่วยพอดี ซึ่งดูเหมือนกำไรที่รับประกัน จุดอ่อนคือ w = l ไม่ใช่กรณีที่คาดได้ ใน 37 ครั้งที่หมุน คุณคาดว่าจะชนะ 18 ครั้งและแพ้ 19 ครั้ง การแพ้ที่เกินมาหนึ่งครั้งที่เงินเดิมพันไต่ขึ้นไปถึง สมมติว่า 8 หน่วย เสียมากกว่าที่คู่ +1 แปดคู่ทำได้ ค่าคาดหวังจึงออกมาเป็น −1/37 ของยอดเดิมพันรวมเงินยอดเดิมพันรวมจำนวนเงินทั้งหมดที่เดิมพันตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่ง โดยนับเงินที่ชนะซึ่งนำกลับไปเดิมพันอีกด้วย เรียกอีกอย่างว่า handle หรือ actionอ่านทั้งหมด → อย่างที่ต้องเป็น
ทำไมเซสชันสั้น ๆ มักจบด้วยกำไร?
กรณีที่สมดุลเป็นส่วนหนึ่งของกฎข้อเดียวที่ครอบคลุมทุกเซสชัน ให้ D เป็นจำนวนครั้งที่แพ้ลบจำนวนครั้งที่ชนะ เซสชันที่หมุน N ครั้งซึ่งเริ่มที่หนึ่งหน่วยจะจบที่ (N − D²)/2 − D หน่วย ตราบใดที่ไม่มีเดิมพันหนึ่งหน่วยรายการใดชนะ (หลังชนะแบบนั้น เงินเดิมพันไม่มีที่ให้ลดต่ำลงอีก) เมื่อ D = 0 ผลคือ +N/2 ซึ่งก็คือ +w ในหัวข้อก่อนหน้า การแพ้ที่เกินมาแต่ละครั้งนับเป็นกำลังสอง: หลังหมุน 100 ครั้ง D เท่ากับ 4 ยังเหลือ +38 หน่วย D เท่ากับ 8 เหลือ +10 และ D เท่ากับ 10 เหลือ −10 ความบังเอิญเพียงอย่างเดียวทำให้ D กระจายราว √N คือราวสิบหลังหมุน 100 ครั้ง และในเกมที่ไม่มีศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด → กำไรของเซสชันที่สมดุลจำนวนมากกับการขาดทุนของเซสชันที่เอียงข้างจำนวนน้อยจะหักล้างกันพอดี ศูนย์เพิ่มการแพ้หนึ่งครั้งทุก 37 ครั้งที่หมุนโดยเฉลี่ย และเพราะ D ถูกยกกำลังสอง ต้นทุนของมันจึงโตเร็วกว่าความยาวของเซสชัน เซสชันส่วนใหญ่ที่ยาวไม่เกิน 100 ครั้งจบด้วยกำไร แต่ค่าเฉลี่ยไม่เคยเป็นเช่นนั้น และเมื่อเกินไม่กี่ร้อยครั้ง เซสชันส่วนใหญ่ก็ขาดทุนด้วย
ถ้ากลับด้านจะเป็นอย่างไร?
คอนทรา-ดาล็องแบร์ (Contra-D’Alembert) หรือที่เรียกว่าดาล็องแบร์ย้อนกลับ เพิ่มหนึ่งหน่วยหลังชนะและลดหนึ่งหน่วยหลังแพ้ มันคือภาพสะท้อนของแบบเดิมพอดี ตราบใดที่ไม่มีเดิมพันหนึ่งหน่วยใดแพ้ เซสชันที่หมุน N ครั้งจะจบที่ (D² − N)/2 + D หน่วย โดยตอนนี้ D คือจำนวนครั้งที่ชนะลบจำนวนครั้งที่แพ้ เซสชันที่สมดุลเสียครึ่งหน่วยต่อการหมุนหนึ่งครั้ง และมีเพียงช่วงที่ชนะนำการแพ้ไปมากเท่านั้นที่ได้กำไร ดังนั้นเซสชันส่วนใหญ่เสียเล็กน้อย และไม่กี่เซสชันได้มาก ซึ่งตรงข้ามกับรูปทรงของแบบเดิม และค่าเฉลี่ยก็เป็น 2.70% ของเงินเดิมพันเท่าเดิม
ดาล็องแบร์คือใคร?
ฌ็อง เลอ รง ดาล็องแบร์ (Jean le Rond d’Alembert) นักคณิตศาสตร์และบรรณาธิการร่วมของ Encyclopédie แย้งไว้ในบทความปี 1754 ว่าหลังจากออกหัวติดต่อกัน ก้อยจะมีโอกาสออกมากขึ้น เขาคิดผิด และเหตุผลวิบัติที่ใช้ชื่อเขาก็คือรูปแบบหนึ่งของเหตุผลวิบัติของนักพนัน (gambler’s fallacy) ระบบเดิมพันนี้ถูกตั้งชื่อตามเขาในภายหลังโดยนักพนันที่มีความเชื่อเดียวกัน เขาไม่ได้ออกแบบมัน และคงไม่ได้สนับสนุนมันด้วย
มีแบบอื่นอีกหรือไม่?
คอนทรา-ดาล็องแบร์ (Contra-D’Alembert) ที่กล่าวถึงข้างต้นทำงานเหมือนพาโรลีกลยุทธ์พาโรลีการเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อชนะ: เพิ่มเป็นสองเท่าหลังชนะ รีเซ็ตหลังแพ้หรือหลังชนะติดต่อกันสามครั้ง เรียกอีกอย่างว่ามาร์ติงเกลย้อนกลับอ่านทั้งหมด →ที่นุ่มนวล ผู้เล่นบางคนเพิ่มสองหน่วยหลังแพ้และลดหนึ่งหน่วยหลังชนะ ซึ่งทำให้บันไดชันขึ้นจนเข้าใกล้แบบมาร์ติงเกล ทุกรูปแบบมีผลขาดทุนคาดหวังคณิตศาสตร์ผลขาดทุนคาดหวังค่าคาดหวังคูณด้วยยอดเงินที่เดิมพันทั้งหมด คือจำนวนเงินที่เสียโดยเฉลี่ยตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่งอ่านทั้งหมด →ต่อหน่วยที่เดิมพันเท่ากัน
เครื่องจำลอง · ดาล็องแบร์
เดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 จำนวน 2,000 เซสชัน เริ่มจากเงินทุน $1,000
เดิมพันเริ่มต้น $10 · ลิมิตโต๊ะ $500 · หมุน 100 ครั้งต่อเซสชัน
แพ้ติดต่อกันเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน
เดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนวงล้อศูนย์เดี่ยวแพ้ 19 ครั้งจากการหมุน 37 ครั้ง แต่ละแถวคือโอกาสที่การหมุนชุดหนึ่งจะแพ้ทั้งหมด และเงินที่ผู้เล่นดาล็องแบร์ซึ่งเพิ่มเดิมพันหนึ่งหน่วยเดิมพันเริ่มต้นหลังแพ้ทุกครั้งเสียไปแล้วจนถึงตอนนั้น
| แพ้ติดต่อกัน | โอกาส | ราว 1 ใน | เสียไปแล้ว | เดิมพันถัดไป |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $3 |
| 3 | 13.5% | 7 | $6 | $4 |
| 4 | 7.0% | 14 | $10 | $5 |
| 5 | 3.6% | 28 | $15 | $6 |
| 6 | 1.8% | 55 | $21 | $7 |
| 7 | 0.94% | 106 | $28 | $8 |
| 8 | 0.48% | 207 | $36 | $9 |
| 9 | 0.25% | 403 | $45 | $10 |
| 10 | 0.13% | 784 | $55 | $11 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $66 | $12 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $78 | $13 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $91 | $14 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $105 | $15 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $120 | $16 |
โอกาสนี้คือ 19/37 คูณกับตัวเองหนึ่งครั้งต่อการแพ้หนึ่งครั้ง โดยนับจากการหมุนครั้งหนึ่งที่กำหนดไว้ เซสชันยาวมีการหมุนหลายครั้งที่การแพ้ติดต่อกันแบบนี้เริ่มขึ้นได้ ดังนั้นตลอดทั้งค่ำคืนจึงมีโอกาสเกิดมากกว่าที่แถวเดียวบอกไว้มาก
คำถาม
มันไม่มีหน้าผา จึงเป็นการเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อแพ้ที่นุ่มนวลที่สุด แต่ไม่ได้ถูกกว่าการเดิมพันคงที่ มันแพงกว่าเล็กน้อย
มีเพียงลิมิตโต๊ะโต๊ะลิมิตโต๊ะเดิมพันต่ำสุดและสูงสุดที่อนุญาต ลิมิตสูงสุดคือสิ่งที่หยุดการเดินเงินแบบเพิ่มเป็นสองเท่าอ่านทั้งหมด →หรือเงินทุนเงินเงินทุนจำนวนเงินทั้งหมดที่กันไว้สำหรับเล่น การบริหารเงินทุนคือการตัดสินใจว่าจะเสี่ยงเท่าใดต่อเดิมพันและต่อเซสชันอ่านทั้งหมด →ของคุณ ในเซสชันที่แพ้ยาวนาน มันไต่ขึ้นอย่างต่อเนื่อง
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
คุณเล่นระบบดาล็องแบร์บนสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →เป็นเวลาหมุน 50 ครั้ง เริ่มที่หนึ่งหน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด → และไม่เคยชนะเดิมพันหนึ่งหน่วยเลย (หลังชนะแบบนั้น เงินเดิมพันไม่มีที่ให้ลดต่ำลงอีก) คุณจบด้วยการแพ้ 27 ครั้งและชนะ 23 ครั้ง คุณได้หรือเสียกี่หน่วย แล้วถ้าแพ้ 29 ครั้งและชนะ 21 ครั้งล่ะ?
แสดงเฉลย
คำตอบ +13 หน่วยเมื่อแพ้ 27 ครั้ง และ −15 หน่วยเมื่อแพ้ 29 ครั้ง การหมุนเพียงสองครั้งในห้าสิบครั้งที่ออกไปอีกทางทำให้เสีย 28 หน่วย
ให้ D เป็นจำนวนครั้งที่แพ้ลบจำนวนครั้งที่ชนะ ผลลัพธ์สำหรับการหมุน N ครั้งคือ (N − D²)/2 − D เมื่อแพ้ 27 ครั้งและชนะ 23 ครั้ง D = 4: (50 − 16)/2 − 4 = 17 − 4 = +13 เมื่อแพ้ 29 ครั้งและชนะ 21 ครั้ง D = 8: (50 − 64)/2 − 8 = −7 − 8 = −15
ทำไมกฎนี้จึงเป็นจริง: เงินเดิมพันเท่ากับหนึ่งหน่วยบวกจำนวนครั้งที่แพ้จนถึงตอนนั้นลบจำนวนครั้งที่ชนะจนถึงตอนนั้นเสมอ การแพ้แต่ละครั้งที่ถูกการชนะในภายหลังหักล้างจะรวมเป็นคู่ คือแพ้ s แล้วชนะ s + 1 ซึ่งได้สุทธิ +1 หน่วย ดังที่ตารางด้านบนแสดง ในการหมุน N ครั้ง จะเกิดคู่แบบนี้ (N − D)/2 คู่ มีค่า +(N − D)/2 การแพ้ D ครั้งที่เหลือถูกวางที่เงินเดิมพัน 1, 2 … D ระหว่างทางขึ้นและไม่เคยถูกหักล้าง จึงเสีย 1 + 2 + … + D = D(D + 1)/2 รวมกัน: (N − D)/2 − D(D + 1)/2 = (N − D²)/2 − D
กำลังสองคือหัวใจของเรื่องทั้งหมด เซสชันที่สมดุลได้ครึ่งหน่วยต่อการหมุน และทุกก้าวที่ห่างออกจากสมดุลเสียมากกว่าก้าวก่อนหน้า
คุณเล่นดาล็องแบร์ย้อนกลับบนสีแดงเป็นเวลาหมุน 100 ครั้ง เริ่มที่หนึ่งหน่วย และไม่เคยแพ้เดิมพันหนึ่งหน่วยเลย คุณจบด้วยการชนะ 52 ครั้งและแพ้ 48 ครั้ง คุณอยู่ตรงไหน? แล้วถ้าชนะ 60 ครั้งและแพ้ 40 ครั้งล่ะ?
แสดงเฉลย
คำตอบ −38 หน่วยเมื่อชนะ 52 ครั้ง และ +170 เมื่อชนะ 60 ครั้ง การชนะนำเพียงเล็กน้อยยังขาดทุน ต้องนำมากจึงจะได้กำไร
ให้ D เป็นจำนวนครั้งที่ชนะลบจำนวนครั้งที่แพ้ ผลลัพธ์สำหรับการหมุน N ครั้งคือ (D² − N)/2 + D
ชนะ 52 ครั้งและแพ้ 48 ครั้ง: D = 4 จึงได้ (16 − 100)/2 + 4 = −42 + 4 = −38
ชนะ 60 ครั้งและแพ้ 40 ครั้ง: D = 20 จึงได้ (400 − 100)/2 + 20 = 150 + 20 = +170
เหตุผล: การชนะแต่ละครั้งที่ถูกการแพ้ภายหลังหักล้างจะเป็นคู่ คือชนะที่ระดับ s แล้วแพ้ที่ระดับ s + 1 ซึ่งสุทธิเป็น −1 การชนะ D ครั้งที่เหลือถูกวางที่เงินเดิมพัน 1, 2 … D ระหว่างทางขึ้น และไม่ถูกหักล้าง จึงได้ D(D + 1)/2 จากการหมุน N ครั้ง เกิดคู่ (N − D)/2 คู่ ผลรวมจึงเป็น D(D + 1)/2 − (N − D)/2 = (D² − N)/2 + D
นี่คือกฎของดาล็องแบร์แบบเดิมที่กลับเครื่องหมาย: ในแบบเดิม ความสมดุลได้ครึ่งหน่วยต่อการหมุนหนึ่งครั้งและความไม่สมดุลถูกลงโทษ ส่วนในแบบนี้ ความสมดุลเสียครึ่งหน่วยต่อการหมุนหนึ่งครั้งและความไม่สมดุลได้รางวัล
การ์ตูนคั่นเวลา
ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ที่คิดเรื่องเหรียญผิด
แหล่งที่มา
- d’Alembert, J. “Croix ou pile.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.