ความน่าจะเป็นของการออกติดต่อกัน
สีเดียวออกติดต่อกันยาว ๆ เป็นเรื่องปกติ และไม่มีความหมายใดต่อการหมุนครั้งถัดไป
แดงออกติดต่อกันห้าครั้ง: 2.7% สิบครั้ง: 0.074% ในเซสชันหมุน 200 ครั้ง สีเดียวออกติดต่อกันหกครั้งเกิดขึ้นบ่อยกว่าไม่เกิด
แพ้ติดต่อกันเกิดขึ้นบ่อยแค่ไหน
เดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนวงล้อศูนย์เดี่ยวแพ้ 19 ครั้งจากการหมุน 37 ครั้ง แต่ละแถวคือโอกาสที่การหมุนชุดหนึ่งจะแพ้ทั้งหมด และเงินที่ผู้เล่นมาร์ติงเกลซึ่งเพิ่มเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้ทุกครั้งเสียไปแล้วจนถึงตอนนั้น
| แพ้ติดต่อกัน | โอกาส | ราว 1 ใน | เสียไปแล้ว | เดิมพันถัดไป |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 51.4% | 2 | $1 | $2 |
| 2 | 26.4% | 4 | $3 | $4 |
| 3 | 13.5% | 7 | $7 | $8 |
| 4 | 7.0% | 14 | $15 | $16 |
| 5 | 3.6% | 28 | $31 | $32 |
| 6 | 1.8% | 55 | $63 | $64 |
| 7 | 0.94% | 106 | $127 | $128 |
| 8 | 0.48% | 207 | $255 | $256 |
| 9 | 0.25% | 403 | $511 | $512 |
| 10 | 0.13% | 784 | $1,023 | $1,024 |
| 11 | 0.065% | 1527 | $2,047 | $2,048 |
| 12 | 0.034% | 2974 | $4,095 | $4,096 |
| 13 | 0.017% | 5792 | $8,191 | $8,192 |
| 14 | 0.0089% | 11279 | $16,383 | $16,384 |
| 15 | 0.0046% | 21965 | $32,767 | $32,768 |
โอกาสนี้คือ 19/37 คูณกับตัวเองหนึ่งครั้งต่อการแพ้หนึ่งครั้ง โดยนับจากการหมุนครั้งหนึ่งที่กำหนดไว้ เซสชันยาวมีการหมุนหลายครั้งที่การแพ้ติดต่อกันแบบนี้เริ่มขึ้นได้ ดังนั้นตลอดทั้งค่ำคืนจึงมีโอกาสเกิดมากกว่าที่แถวเดียวบอกไว้มาก
การออกติดต่อกันหนึ่งชุด
ความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ที่การหมุน k ครั้งถัดไปจะออกแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →ทั้งหมดคือ (18/37)ᵏ สองครั้ง: 23.7% ห้าครั้ง: 2.7% สิบครั้ง: 0.074% ราว 1 ใน 1,350 ยี่สิบครั้ง: 1 ใน 1.8 ล้าน ยี่สิบหกครั้ง ซึ่งเป็นสถิติของมอนติคาร์โล: 1 ใน 137 ล้าน นี่คือโอกาสของการออกติดต่อกันชุดที่เจาะจงซึ่งเริ่มที่การหมุนครั้งที่เจาะจง ซึ่งเป็นคำถามที่แทบไม่มีใครถามจริง ๆ
ภายในเซสชัน
คำถามที่คนหมายถึงจริง ๆ คือ “จะมีการออกติดต่อกัน k ครั้งที่ไหนสักแห่งในเซสชันของฉันไหม?” และคำตอบสูงกว่า (18/37)ᵏ มาก เพราะเซสชันหมุน 200 ครั้งมีจุดให้เริ่มการออกติดต่อกันได้เกือบ 200 จุด สีเดียวกันออกติดต่อกันตั้งแต่หกครั้งขึ้นไป จะเป็นแดงหรือดำเดิมพันสีดำเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีดำ 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Noirอ่านทั้งหมด →ก็ได้ เกิดขึ้นในเซสชันหมุน 200 ครั้งราว 94% ของจำนวนครั้ง ตั้งแต่แปดครั้งขึ้นไปราว 47% ตั้งแต่สิบครั้งขึ้นไปราว 14% ถ้าระบุสีไว้ล่วงหน้า โอกาสจะลดลงเหลือราว 75%, 27% และ 7% ผู้เล่นที่นั่งเล่นตลอดค่ำจะเห็นการออกติดต่อกันยาว ๆ ทุกค่ำ
ทำไมมาร์ติงเกลจึงต้องสนใจ
การเดินเงินกลยุทธ์การเดินเงินกฎใดก็ตามที่เปลี่ยนเงินเดิมพันตามผลที่ผ่านมา การเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อแพ้จะเพิ่มเงินเดิมพันหลังแพ้ ส่วนการเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อชนะจะเพิ่มหลังชนะอ่านทั้งหมด →แบบเพิ่มเมื่อแพ้ทุกแบบมีความยาวของการแพ้ติดต่อกันที่ทำให้มันพัง: แพ้หกครั้งจากฐาน $10 ที่ลิมิต $500 สิบครั้งสำหรับฟีโบนัชชีกลยุทธ์ฟีโบนัชชีการเดินเงินที่เดินตามลำดับ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…: ไปข้างหน้าหนึ่งขั้นหลังแพ้ ถอยกลับสองขั้นหลังชนะอ่านทั้งหมด → ห้าครั้งสำหรับการเพิ่มสามเท่าบนโดเซนเดิมพันโดเซน(Dozen) 1–12, 13–24 หรือ 25–36 จ่าย 2:1อ่านทั้งหมด → ความน่าจะเป็นที่จะแพ้ติดต่อกันหกครั้งในเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 คือ (19/37)⁶ ≈ 1.8% ต่อความพยายามหนึ่งครั้ง และเซสชันหมุน 200 ครั้งมีความพยายามอยู่ราว 100 ครั้ง จุดพังจึงมาถึงในราวสี่ในห้าของเซสชันที่ยาวขนาดนั้น ความน่าจะเป็นของการออกติดต่อกันคือเหตุผลที่หน้าผานั้นไม่ใช่เรื่องหายาก
เลขร้อนและเลขเย็น
เลขคณิตเดียวกันใช้กับสเตรทอัพเดิมพันสเตรทอัพ(Straight Up) เลขเดียว จ่าย 35:1อ่านทั้งหมด → (Straight Up) ในการหมุน 300 ครั้ง จำนวนครั้งที่คาดหวังต่อเลขคือ 8.1 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคณิตศาสตร์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(SD) รากที่สองของความแปรปรวน คือระยะห่างโดยทั่วไปของผลลัพธ์จากค่าคาดหวังอ่านทั้งหมด →ราว 2.8 จะมีเลขหนึ่งออก 15 ครั้งและอีกเลขออก 2 ครั้งด้วยความบังเอิญล้วน ๆ ทุกครั้ง กระดานแสดงผลที่เน้นเลข “ร้อน” กำลังเน้นส่วนบนของการแจกแจงปกติ ห้องแล็บอธิบายว่าต้องหมุนกี่ครั้งก่อนที่เลขร้อนความเชื่อผิด ๆเลขร้อนเลขที่ออกบ่อยกว่าค่าคาดหวังในช่วงที่ผ่านมา บนวงล้อที่เที่ยงตรง ไม่ได้ทำนายสิ่งใดอ่านทั้งหมด →จะมีความหมาย (หลายพันครั้ง จากวงล้อหนึ่งวงที่ระบุได้)
ความเป็นอิสระต่อกันคือแก่นของเรื่องทั้งหมด
แดงออกติดต่อกันสิบครั้งไม่ได้ทำให้ดำมีโอกาสออกมากขึ้น และไม่ได้ทำให้แดงมีโอกาสออกมากขึ้นด้วย ทั้งคู่คือ 18/37 การออกติดต่อกันเป็นคุณสมบัติของลำดับสุ่ม และถ้าไม่มีเลยต่างหากที่น่าสงสัย: ลำดับการหมุน 200 ครั้งที่ไม่มีการออกติดต่อกันยาวเกินสี่ครั้งเลย เป็นหลักฐานของการดัดแปลงที่หนักแน่นกว่าลำดับที่มีการออกติดต่อกันสิบสองครั้งมาก
สูตร
คำถาม
ดำ 26 ครั้งที่มอนติคาร์โลเมื่อวันที่ 18 สิงหาคม 1913 คือกรณีที่มีชื่อเสียง มีรายงานว่าแดงออกติดต่อกัน 32 ครั้งในคาสิโนอเมริกันแห่งหนึ่งในปี 1943 ทั้งสองกรณีสอดคล้องกับความบังเอิญ เมื่อคิดว่าคาสิโนหมุนวงล้อกันมากเพียงใด
ไม่ว่าทางไหนก็ 18/37 เดิมพันตามแผนของคุณ หรือไม่เดิมพันเลย
ไม่ ความเอนเอียงปรากฏเป็นช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →บางช่องที่ออกบ่อยกว่าตลอดการหมุนหลายพันครั้ง ไม่ใช่สีใดสีหนึ่งออกติดต่อกัน
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
ต้องหมุนวงล้อยุโรปโดยเฉลี่ยกี่ครั้ง ก่อนที่เลขทั้ง 37 เลขจะออกอย่างน้อยหนึ่งครั้ง?
แสดงเฉลย
คำตอบ โดยเฉลี่ยราว 155 ครั้ง ค่ามัธยฐานคือ 147
นับการรอทีละเลขใหม่ การหมุนครั้งแรกให้เลขใหม่เสมอ เมื่อเห็นไปแล้ว 1 เลข มี 36 ช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →ใน 37 ที่เป็นเลขใหม่ เลขใหม่ถัดไปจึงใช้การหมุนโดยเฉลี่ย 37/36 ครั้ง เมื่อเห็นไปแล้ว k เลข จะใช้ 37/(37 − k) ครั้ง
รวมการรอทั้งหมด: 37/37 + 37/36 + 37/35 + … + 37/1 = 37 × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/37) ≈ 37 × 4.20 = 155.5 ครั้ง
ส่วนใหญ่อยู่ในช่วงท้าย เลขสุดท้ายเลขเดียวใช้การหมุนโดยเฉลี่ย 37 ครั้ง และห้าเลขสุดท้ายราว 85 ครั้ง บนวงล้ออเมริกัน การคำนวณเดียวกันได้ราว 161 ครั้ง นี่คือปัญหานักสะสมคูปอง (coupon collector’s problem) และ Wizard of Odds ให้ค่าเฉลี่ยเท่ากัน
ในการหมุนวงล้อยุโรป 37 ครั้ง หรือหนึ่งครั้งต่อหนึ่งช่อง คุณควรคาดว่าจะเห็นเลขที่ต่างกันกี่เลข?
แสดงเฉลย
คำตอบ ราว 23.6 เลข เลขราวหนึ่งในสาม หรือราว 13 เลข ไม่ออกเลย
เลือกเลขหนึ่งเลข เช่น 17 ในการหมุนแต่ละครั้ง เลขนี้ไม่ออกด้วยโอกาส 36/37 จึงพลาดทั้ง 37 ครั้งด้วยโอกาส (36/37)³⁷ ≈ 0.363
ทุกเลขมีโอกาสเท่ากัน โดยเฉลี่ยจึงมี 37 × 0.363 ≈ 13.4 เลขที่ไม่ออก และ 37 − 13.4 ≈ 23.6 เลขที่ออก หลายเลขออกสองครั้งหรือมากกว่า
ผู้เล่นรูเล็ตเรียกสิ่งนี้ว่า “กฎหนึ่งในสาม” (law of thirds) แต่ไม่ใช่กฎใด ๆ เป็นเพียงเลขคณิตของการออกซ้ำ ในการหมุนที่ยาวเท่าจำนวนช่องของวงล้อ เลขราวหนึ่งในสามจะไม่ออก บนวงล้อที่เที่ยงตรงก็เป็นเช่นเดียวกับวงล้ออื่น บนวงล้อ 38 ช่อง สัดส่วนคือ (37/38)³⁸ ≈ 0.363 เช่นกัน และสำหรับวงล้อขนาดใหญ่จะเข้าใกล้ 1/e ≈ 0.368
เพื่อนคนหนึ่งให้คุณดูรายการสีสองรายการ รายการละ 50 สี เป็นแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →หรือดำเดิมพันสีดำเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีดำ 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Noirอ่านทั้งหมด → ซึ่งบอกว่ามาจากวงล้อโดยตัดศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด →ออก รายการหนึ่งสลับสี 25 ครั้งและการออกติดต่อกันที่ยาวที่สุดคือหก อีกรายการสลับสี 35 ครั้งและไม่เคยออกติดต่อกันเกินสาม รายการไหนถูกแต่งขึ้น?
แสดงเฉลย
คำตอบ รายการที่สอง รายการจริงสลับสีราว 24 หรือ 25 ครั้ง รายการที่สลับ 35 ครั้งพบราวหนึ่งครั้งใน 500 รายการ และรายการที่ไม่มีการออกติดต่อกันยาวเกินสามพบราวสองครั้งใน 100 รายการ
สีใหม่แต่ละครั้งจะซ้ำสีก่อนหน้าหรือสลับ อย่างละครึ่ง ดังนั้นโอกาสสลับ 49 ครั้งให้การสลับเฉลี่ย 24.5 ครั้ง บวกลบราว 3.5 สามสิบห้าครั้งอยู่เหนือค่าเฉลี่ยสามช่วงแบบนั้น วงล้อที่ยุติธรรมสลับสีมากขนาดนั้นราวหนึ่งครั้งใน 500 รายการ
การออกติดต่อกันก็บอกเรื่องเดียวกัน รายการจริง 50 สีมีการออกติดต่อกันตั้งแต่สี่ครั้งขึ้นไปราว 98% ของจำนวนครั้ง และการออกติดต่อกันที่ยาวที่สุดมักเป็นห้าหรือหก
คนที่ถูกขอให้แต่งรายการสุ่มขึ้นมาสลับสีบ่อยเกินไป เพราะการออกติดต่อกันสี่หรือห้าครั้งดูเหมือนรูปแบบในสายตาพวกเขา เทย์เลอร์ (Taylor, 2021) แสดงร่องรอยเดียวกันในรายการผลโยนเหรียญที่นักเรียนแต่งขึ้น: ความสุ่มจริงมีการออกติดต่อกันมากกว่าที่คนคาด
หนังสือรวมเรื่องเล่าคาสิโนเล่มหนึ่งเล่าถึงผู้เล่นที่เลขของเขาออกห้าครั้งติดต่อกัน และเรียกว่าเป็นสถิติ บนวงล้อยุโรปเรื่องนี้หายากแค่ไหน และควรเกิดบ่อยแค่ไหนที่ไหนสักแห่งในคาสิโนแห่งหนึ่งที่มี 20 โต๊ะ แต่ละโต๊ะหมุน 40 ครั้งต่อชั่วโมง ทั้งกลางวันและกลางคืน?
แสดงเฉลย
คำตอบ เลขที่ระบุไว้ออกห้าครั้งติดกัน: 1 ใน 69 ล้าน เลขใดก็ได้ที่ออกซ้ำอีกสี่ครั้งหลังจากออกครั้งแรก: 1 ใน 1.87 ล้าน คาสิโนแห่งนั้นหมุนราว 7 ล้านครั้งต่อปี จึงควรเห็นการออกติดต่อกันห้าครั้งปีละสามหรือสี่ครั้ง
เลขที่ระบุไว้ออกด้วยโอกาส 1/37 ในการหมุนแต่ละครั้ง ห้าครั้งติดกันจึงมีโอกาส (1/37)⁵ = 1 ใน 69,343,957 แต่ไม่มีใครระบุเลขไว้ล่วงหน้า ไม่ว่าเลขแรกจะออกอะไร การหมุนสี่ครั้งถัดไปต้องออกซ้ำเลขนั้น: (1/37)⁴ = 1 ใน 1,874,161
20 โต๊ะ × 40 ครั้ง × 24 ชั่วโมง × 365 วัน = หมุน 7,008,000 ครั้งต่อปี การหมุนแต่ละครั้งเป็นจุดเริ่มของการออกติดต่อกันได้ คาสิโนจึงคาดว่าจะเห็นการออกติดต่อกันห้าครั้ง 7,008,000/1,874,161 ≈ 3.7 ครั้งต่อปี
ไม่มีสถิติทางการแบบนี้อยู่ และก็ไม่จำเป็นต้องมี เหตุการณ์ที่หายากที่โต๊ะเดียวเป็นเรื่องปกติเมื่อมองทั้งคาสิโน และเรื่องเล่าก็เล่าถึงโต๊ะที่มันเกิดขึ้น เรื่องนี้ในหนังสือของโกลด์แมน (Goldman, 2007) เกิดบนวงล้อศูนย์คู่ ซึ่งตัวเลขคือ 1 ใน 79 ล้าน และ 1 ใน 2.09 ล้าน
การ์ตูนคั่นเวลา
การออกติดต่อกันยาว ๆ คือหน้าตาของความสุ่ม
แหล่งที่มา
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.