การหน่วงความเร็ว
ส่วนเดียวของการหมุนที่ทำนายได้จริง
การหน่วงความเร็วของลูกบอลบนรางเป็นไปตามเส้นโค้งเรียบที่กำหนดโดยแรงเสียดทานและแรงต้าน จากเวลาต่อรอบเพียงไม่กี่รอบ ประมาณเวลาที่ลูกจะตกได้แม่นยำในระดับเสี้ยววินาที แต่การกระจายหลังจากนั้นทำลายความแม่นยำส่วนใหญ่ไปเสีย
แบบจำลอง
ให้ถือว่าลูกบอลอุปกรณ์ลูกบอลลูกบอลขนาดเล็กที่ปล่อยให้วิ่งไปตามรางสวนทางกับโรเตอร์ ลูกบอลรุ่นใหม่ทำจากไอวอรีนหรือเทฟลอน ขนาด 18–21 มม.อ่านทั้งหมด →ชะลอตัวด้วยพจน์คงที่ a (แรงเสียดทานการกลิ้ง) และพจน์ที่แปรผันตามความเร็ว b·v (แรงต้านอากาศและการสูญเสียที่ขึ้นกับความเร็ว) คือ dv/dt = −(a + bv) ผลเฉลยคือการเข้าใกล้ความเร็ววิกฤตที่ลูกจะตกแบบเอกซ์โพเนนเชียล เวลาต่อรอบ T = 2πr/v จึงเพิ่มขึ้นทุกรอบด้วยปริมาณที่มากขึ้นเรื่อย ๆ หาค่า a และ b จากสองสามรอบแรก แล้วรอบที่เหลือและเวลาที่ลูกตกก็จะตามมา ไม่มีอะไรแปลกใหม่ในที่นี้ เป็นกลศาสตร์ระดับปีหนึ่งที่นำมาใช้กับลูกบอลบนราง
ค่าประมาณนี้ให้อะไร
เวลาตกที่แม่นยำภายใน 0.2 วินาที เมื่อรวมกับความเร็วของโรเตอร์อุปกรณ์โรเตอร์ส่วนที่หมุนของวงล้อ ซึ่งเป็นที่อยู่ของช่องอ่านทั้งหมด → 15 ช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →ต่อวินาที จะบอกตำแหน่งช่องที่อยู่ใต้จุดตกได้ภายในราวสามช่อง นั่นคือข่าวดีสำหรับผู้ทำนาย ข่าวร้ายคือหลังจากนั้นลูกบอลจะวิ่งข้ามพื้นลาดอุปกรณ์พื้นลาด(apron) พื้นที่ลาดเอียงระหว่างรางลูกบอลกับช่อง เป็นที่ตั้งของตัวเบี่ยงอ่านทั้งหมด → (apron) กระทบตัวเบี่ยงอุปกรณ์ตัวเบี่ยงสิ่งกีดขวางโลหะแต่ละตัวบนพื้นลาดที่ทำให้ลูกบอลซึ่งกำลังตกกระจายทิศทาง เรียกอีกอย่างว่า canoe, diamond หรือ pinอ่านทั้งหมด → และกระดอนข้ามแผ่นกั้นช่องอุปกรณ์แผ่นกั้นช่องแผ่นโลหะที่กั้นระหว่างสองช่องบนวงล้ออ่านทั้งหมด → ช่องสุดท้ายจึงกระจายอยู่ในการแจกแจงที่กว้าง 20 ถึง 30 ช่อง ความแม่นยำของช่วงที่ลูกอยู่บนรางถูกการกระจายในช่วงที่ลูกตกกลืนไปเกือบหมด
สิ่งที่เหลืออยู่
ถ้าการแจกแจงของการกระจายมีฐานนิยม คือลูกบอลตกใกล้ช่องที่อยู่ใต้จุดตกบ่อยกว่าการสุ่ม การเดิมพันเซกเตอร์วงล้อเซกเตอร์ส่วนโค้งของช่องที่อยู่ต่อเนื่องกันบนวงล้อ ต่างจากกลุ่มเลขบนผังเดิมพันอ่านทั้งหมด →รอบช่องที่ทำนายไว้ก็ให้ความได้เปรียบเล็กน้อย สมอลล์และเซ (Small and Tse, 2012) วัดเรื่องนี้ในห้องปฏิบัติการด้วยกล้อง และพบว่าเซกเตอร์ที่ทำนายไว้ถูกบ่อยพอจะพลิกความได้เปรียบของเจ้ามือคณิตศาสตร์ความได้เปรียบของเจ้ามือ(house edge) ส่วนของเงินเดิมพันแต่ละครั้งที่คาสิโนเก็บไว้โดยเฉลี่ย: 2.70% ในรูเล็ตยุโรปอ่านทั้งหมด → (house edge) ให้เป็นบวกได้ไม่กี่เปอร์เซ็นต์ เงื่อนไขของพวกเขา ได้แก่ ภาพมุมสูงเต็มวงล้อ วงล้อที่รู้จักดี และการวางเดิมพันหลังปล่อยลูกแล้ว ไม่มีอยู่ที่โต๊ะสด
อะไรเปลี่ยนไปในแต่ละชั่วโมง
ค่าคงที่สองค่านี้ไม่ได้ตายตัวสำหรับวงล้อวงหนึ่ง กลุ่ม Eudaemons ซึ่งจับเวลาวงล้อคาสิโนอยู่หลายปีในทศวรรษ 1970 พบว่าอากาศเป็นตัวทำให้ลูกบอลช้าลงมากที่สุด มากกว่าราง และลูกบอลก็มีผล ลูกบอลเทฟลอนเสียความเร็วเร็วเป็นสองเท่าของลูกบอลที่ทำจากวัสดุผสมแบบเดียวกับลูกบิลเลียด พวกเขายังเห็นคำทำนายเลื่อนไป 5 ถึง 10% ต่อชั่วโมงเมื่อมีคนเปิดประตูหรืออากาศเปลี่ยน เพราะอากาศชื้นหรืออากาศหนักทำให้ลูกบอลช้าลงเร็วขึ้น โปรแกรมของพวกเขาจึงเก็บค่าตั้งแยกกันสำหรับอัตราการช้าลงของลูกบอล และสำหรับความเร็วขณะที่ลูกบอลหลุดจากราง และผู้เล่นตั้งค่าทั้งสองใหม่ที่ทุกโต๊ะ และตั้งอีกครั้งทุกคราวที่คำทำนายเริ่มคลาดเคลื่อน
ทำไมห้องแล็บจึงอธิบายเรื่องนี้
ไม่ใช่เพื่อให้ใครก็ทำได้ แต่เพื่อแสดงว่าความสุ่มของเกมประกอบด้วยอะไรจริง ๆ คือช่วงที่กำหนดได้แน่นอน ซึ่งคาสิโนป้องกันด้วยการปิดรับเดิมพันแต่เนิ่น ๆ และจำนวนรอบขั้นต่ำ กับช่วงที่อลวน ซึ่งคาสิโนป้องกันด้วยตัวเบี่ยงและแผ่นกั้นช่องที่เตี้ย ผู้เล่นที่เข้าใจเรื่องนี้จะเข้าใจว่าทำไม 2.70% จึงปลอดภัยสำหรับคาสิโน
ลองคำนวณเอง
จับเวลาลูกบอลที่วิ่งผ่านตัวเบี่ยงในสตรีมใดก็ได้เป็นเวลาสามรอบแล้วประมาณค่าต่อไป ส่วนใหญ่คุณจะคลาดจากจุดตกไม่เกินหนึ่งรอบ ซึ่งก็คือช่วงที่กำหนดได้แน่นอนทำงานตามที่อธิบายไว้ จากนั้นให้ดูว่าลูกบอลตกจริงที่ไหนเมื่อเทียบกับช่องที่อยู่ใต้จุดตก แล้วจดสถิติไว้ห้าสิบครั้ง สถิตินั้นคือการแจกแจงของการกระจาย และความกว้างของมันคือคำตอบของคำถาม “ทำไมจึงเอาชนะสิ่งนี้ไม่ได้?”
สูตร
คำถาม
ไม่ แรงเสียดทานเปลี่ยนไปตามฝุ่น ความชื้น และการสึกหรอ ผู้ทำนายจึงปรับแบบจำลองใหม่ทุกครั้งที่หมุน
สามรอบให้ค่าประมาณคร่าว ๆ ห้าหรือหกรอบให้ค่าที่ดี จำนวนขั้นต่ำสี่รอบของสตูดิโอเหลือเวลาให้เดิมพันน้อยมาก และอย่างไรการรับเดิมพันก็ปิดไปแล้ว
มีไม่กี่คน ในช่วงสั้น ๆ โดยใช้อุปกรณ์ ก่อนที่คาสิโนจะปรับตัวและกฎหมายจะตามมา ดูเรื่องการเล่นแบบได้เปรียบ (advantage play)
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
ในแบบจำลองเพื่อการอธิบายของทอร์ป (Thorp) สำหรับลูกบอลอุปกรณ์ลูกบอลลูกบอลขนาดเล็กที่ปล่อยให้วิ่งไปตามรางสวนทางกับโรเตอร์ ลูกบอลรุ่นใหม่ทำจากไอวอรีนหรือเทฟลอน ขนาด 18–21 มม.อ่านทั้งหมด →ที่กำลังชะลอตัว ถ้าการวิ่งหนึ่งรอบบนรางใช้เวลา T วินาที ลูกบอลจะเหลืออีก 1/(e^(3T/20) − 1) − 10/3 รอบก่อนจะหลุดจากราง หลังรอบที่ใช้เวลาครึ่งวินาทีจะเหลือกี่รอบ และหลังรอบที่ใช้เวลาหนึ่งวินาทีเต็มล่ะ? การจับเวลาคลาด 0.012 วินาทีที่ T = 0.8 ทำให้การทำนายเลื่อนไปเท่าไร?
แสดงเฉลย
คำตอบ ราว 9.5 รอบหลังรอบที่ใช้ครึ่งวินาที และ 2.85 รอบหลังรอบที่ใช้หนึ่งวินาที การคลาดนี้ทำให้การทำนายเลื่อนไปราว 0.12 รอบ หรือประมาณ 4½ ช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →
T = 0.5: 3T/20 = 0.075 และ e^0.075 ≈ 1.0779 ดังนั้น 1/0.0779 ≈ 12.84 และ 12.84 − 3.33 ≈ 9.51 รอบ T = 1: e^0.15 ≈ 1.1618, 1/0.1618 ≈ 6.18 และ 6.18 − 3.33 ≈ 2.85 รอบที่เร็วหมายถึงยังเหลืออีกหลายรอบ และรอบที่ช้ากว่าสองเท่าเหลือรอบไม่ถึงหนึ่งในสาม
ที่ T = 0.8 สูตรให้ 4.51 รอบ ที่ T = 0.812 ได้ 4.39 การคลาด 12 ในพันส่วนของวินาที ซึ่งราวเท่ากับเวลาที่ลูกบอลกลิ้งไปได้เท่าความกว้างของตัวเอง ทำให้การทำนายเลื่อนไป 0.12 รอบ คือราว 4½ ช่องของวงล้อ 37 ช่อง การคลาดครั้งเดียวนี้กินส่วนใหญ่ของ 5.5 ช่องที่งบความคลาดเคลื่อนของทอร์ปเผื่อไว้สำหรับการจับเวลาลูกบอล (ดูหน้าการเล่นแบบได้เปรียบ) และเป็นเหตุที่นาฬิกา ไม่ใช่เลขคณิต เป็นตัวจำกัดผู้ทำนาย
การ์ตูนคั่นเวลา
ทำนายได้จนถึงตอนลูกตก จากนั้นก็ถึงคิวของตัวเบี่ยง
แหล่งที่มา
- Small, M. & Tse, C. K. “Predicting the outcome of roulette.”
- Bass, T. A. The Eudaemonic Pie.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”