เกณฑ์เคลลีกับรูเล็ต
เกณฑ์เคลลีบอกผู้เดิมพันที่มีความได้เปรียบว่าควรวางเงินเดิมพันเท่าไร สำหรับรูเล็ต มันให้คำตอบที่ชัดเจน: ไม่วางเลย
เงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลี = ความได้เปรียบ / อัตราต่อรอง เมื่อความได้เปรียบติดลบ สูตรให้สัดส่วนติดลบ ซึ่งหมายถึงไม่ต้องเดิมพัน เกณฑ์นี้ยังมีประโยชน์ในการเข้าใจว่าผู้เล่นที่ใช้ความเอนเอียงของวงล้อกำหนดขนาดเดิมพันอย่างที่ทำไปทำไม และทำไมคนอื่นทุกคนควรกำหนดขนาดเดิมพันตามงบ
เกณฑ์
จอห์น เคลลี (John Kelly) (1956) ตั้งคำถามว่านักพนันที่รู้ความได้เปรียบของตัวเองควรกำหนดขนาดเดิมพันอย่างไรเพื่อให้เงินทุนเงินเงินทุนจำนวนเงินทั้งหมดที่กันไว้สำหรับเล่น การบริหารเงินทุนคือการตัดสินใจว่าจะเสี่ยงเท่าใดต่อเดิมพันและต่อเซสชันอ่านทั้งหมด →เติบโตในระยะยาวสูงที่สุด คำตอบสำหรับเดิมพันที่จ่าย b ต่อ 1 โดยมีความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ชนะ p และความน่าจะเป็นแพ้ q = 1 − p คือให้วางเงินเดิมพันเป็นสัดส่วน f* = (bp − q) / b ของเงินทุน f* ที่เป็นบวกหมายถึงเดิมพันตามสัดส่วนนั้น ศูนย์หรือติดลบหมายถึงไม่เดิมพัน เคลลีทำงานที่ Bell Labs และบทความของเขา “A new interpretation of information rate” วางปัญหานี้ไว้ในทฤษฎีสารสนเทศของคล็อด แชนนอน (Claude Shannon): นักพนันที่ได้รับข้อมูลวงในผ่านสายสื่อสารที่มีสัญญาณรบกวน และได้อัตราต่อรองที่ยุติธรรม จะทำให้เงินทุนโตได้อย่างดีที่สุดเท่ากับอัตราที่สายนั้นส่งข้อมูลได้ ในปี 1961 ลีโอ ไบรแมน (Leo Breiman) พิสูจน์ว่าการเดิมพันตามเกณฑ์เคลลีในระยะยาวจะจบด้วยเงินมากกว่ากลยุทธ์ใดก็ตามที่ต่างออกไปโดยสาระสำคัญ และไปถึงเป้าหมายที่ตั้งไว้ในเวลาที่เกือบสั้นที่สุด
เมื่อใช้กับรูเล็ต
สำหรับแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37 ได้ f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37 สำหรับสเตรทอัพเดิมพันสเตรทอัพ(Straight Up) เลขเดียว จ่าย 35:1อ่านทั้งหมด → (Straight Up): b = 35, p = 1/37, q = 36/37 ได้ f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295 เดิมพันมาตรฐานทุกแบบให้สัดส่วนเคลลีติดลบ เพราะทุกเดิมพันมีความได้เปรียบติดลบ และเงินเดิมพันที่ให้การเติบโตสูงสุดคือศูนย์ เกณฑ์เคลลีเป็นวิธีทางการในการพูดสิ่งที่หน้าความได้เปรียบของเจ้ามือพูดไว้: ไม่มีขนาดเดิมพันใดที่ทำให้เดิมพันซึ่งค่าคาดหวังติดลบทำให้เงินทุนโตขึ้นได้
ที่ที่เกณฑ์เคลลีใช้ได้จริง
ผู้เล่นที่ใช้ความเอนเอียงของวงล้อมีความได้เปรียบและมีปัญหาเรื่องขนาดเดิมพัน โจเซฟ แจ็กเกอร์ (Joseph Jagger) ครอบครัวการ์เซีย-เปลาโย (García-Pelayo) และกลุ่มยูไดมอนส์ (Eudaemons) ล้วนต้องตัดสินใจว่าจะเดิมพันเท่าไรกับความได้เปรียบที่วัดได้ เดิมพันน้อยเกินไปทำให้ความได้เปรียบสูญเปล่า ส่วนเดิมพันมากเกินไปเสี่ยงหมดตัวก่อนความได้เปรียบจะปรากฏ สำหรับช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →ที่ออก 1 ใน 30 เกณฑ์เคลลีบอกให้เดิมพัน 0.57% ของเงินทุนต่อการหมุนบนเลขนั้น: ด้วยเงิน $10,000 คือราว $57 ต่อการหมุน โดยมีการเติบโตตามปกติราว 0.054% ต่อการหมุน หรือ ×1.7 ในการหมุน 1,000 ครั้ง กำไรเฉลี่ยมากกว่านั้นสองเท่า คือ 0.11% ต่อการหมุน แต่เกณฑ์เคลลีเล็งที่เงินทุนแบบที่พบตามปกติ ไม่ใช่เงินทุนเฉลี่ยซึ่งถูกดันให้สูงขึ้นด้วยช่วงโชคดีไม่กี่ช่วง ครึ่งเคลลีเป็นทางเลือกที่ใช้กันในทางปฏิบัติ เพราะค่าประมาณความได้เปรียบไม่แน่นอน
แบบที่พบตามปกติกับค่าเฉลี่ย
ช่องว่างระหว่างเงินทุนแบบที่พบตามปกติกับเงินทุนเฉลี่ยนั้นกว้างมาก ลองดูช่องที่ออก 1 ครั้งใน 25 ครั้ง ซึ่งให้ความได้เปรียบ 44% ตามตัวเลขที่ทอร์ป (Thorp) ให้ไว้สำหรับอุปกรณ์ของเขา เกณฑ์เคลลีให้เดิมพัน 1.26% ของเงินทุนบนช่องนั้น หลังหมุน 1,000 ครั้ง เงินทุนแบบที่พบตามปกติเพิ่มขึ้นราว 11.5 เท่า ขณะที่ค่าเฉลี่ยซึ่งถูกช่วงโชคดีมากไม่กี่ช่วงดึงขึ้นไปเพิ่มขึ้นราว 249 เท่า การเดิมพันมากกว่าเคลลีทำให้ค่าเฉลี่ยสูงขึ้นแต่ผลแบบที่พบตามปกติต่ำลง: ที่เงินเดิมพันสองเท่าของเคลลี เงินทุนแบบที่พบตามปกติเพิ่มเป็นแค่สองเท่า และพอถึงสองเท่าครึ่งของเงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลี เงินทุนจะหดลง แม้ทุกเดิมพันยังมีความได้เปรียบ 44% การเดิมพันน้อยกว่านั้นเสียไปไม่มาก: เงินเดิมพันครึ่งหนึ่งยังรักษาการเติบโตไว้ได้ราวสามในสี่
เมื่อความได้เปรียบเป็นแค่การคาดเดา
เกณฑ์เคลลีถือว่ารู้ความได้เปรียบแน่ชัด แต่ที่โต๊ะ ความได้เปรียบเป็นค่าประมาณ และค่าประมาณมักสูงเกินจริง ตัวอย่างของเอปสตีน (Epstein) ซึ่งสร้างจากตัวเลข 44% ของทอร์ป คือเลขที่ออก 49 ครั้งในการหมุน 1,225 ครั้งบนวงล้อศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด →คู่: 1 ครั้งใน 25 ครั้ง ความได้เปรียบ 44% และเงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลี 1.26% แต่วงล้อศูนย์คู่ที่เที่ยงตรงมี 38 เลข และเลขที่ออกบ่อยที่สุดในนั้นจะออกถึง 49 ครั้งขึ้นไปในการหมุน 1,225 ครั้งราวหนึ่งครั้งในเก้าครั้ง เลขที่ออกบ่อยที่สุดในบันทึกใด ๆ ยังเป็นเลขที่โชคช่วยมากที่สุดด้วย แม้ช่องที่เอนเอียงจริงก็ยังดูดีในบันทึกเกินกว่าที่เป็นจริง นี่คือคำสาปของผู้ชนะ (winner’s curse) ถ้าความจริงแล้วช่องนั้นไม่เอนเอียง เงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลีก็เป็นเพียงเดิมพันที่เสียเฉลี่ย 5.26% วิธีรับมือที่ใช้กันคือเดิมพันเพียงเศษส่วนของเคลลี และนับต่อไปจนความได้เปรียบยังคงอยู่ในบันทึกชุดใหม่ (ดูหน้าวิธีตรวจหาความเอนเอียงของวงล้อ)
คนที่มีความได้เปรียบ
การรู้ความได้เปรียบไม่เหมือนกับการใช้มันให้ดี ฮากานี (Haghani) และดิวอี (Dewey) (2016) ให้เงินคน 61 คนคนละ $25 ไปเดิมพันครึ่งชั่วโมงกับเหรียญที่บอกว่าออกหัว 60% ของจำนวนครั้ง โดยจำกัดเงินที่ชนะไว้ที่ $250 (ผู้เล่นรู้เรื่องเพดานนี้ก็ต่อเมื่อไปถึง) เกณฑ์เคลลีบอกให้เดิมพันหัว 20% ของเงินทุนทุกครั้ง และผู้วิจัยประเมินว่าการเดิมพันคงที่ 10–20% จะไปถึงเพดานราว 95% ของจำนวนครั้ง แต่มีผู้เล่นเพียง 21% ที่ไปถึง 28% หมดตัว 18 คนจาก 61 คนเดิมพันทั้งหมดในการโยนครั้งเดียว ราวหนึ่งในสามจบต่ำกว่า $25 ที่เริ่มต้น และเงินที่ได้รับเงินอัตราจ่ายสิ่งที่เดิมพันที่ชนะได้รับ ระบุในรูป “X ต่อ 1” เพิ่มจากเงินเดิมพันที่ได้คืนอ่านทั้งหมด →เฉลี่ยคือ $91 มีเพียงห้าคนจาก 61 คนที่เคยได้ยินเกณฑ์เคลลี เมื่อมีความได้เปรียบ ขนาดของเดิมพันเป็นตัวตัดสินว่าคุณจะรักษามันไว้ได้หรือไม่ เมื่อไม่มี เช่นที่วงล้อที่เที่ยงตรง ไม่มีขนาดเดิมพันใดช่วยได้
ควรใช้อะไรแทน
เมื่อไม่มีความได้เปรียบ การกำหนดขนาดเดิมพันเป็นเรื่องของงบ ไม่ใช่เรื่องการเติบโต: เงินเดิมพัน = จำนวนที่คุณยอมจ่ายต่อการหมุน ซึ่งคิดจากงบต่อชั่วโมงและความเร็วของโต๊ะ (หน้าการบริหารเงินทุน) สิ่งที่เกณฑ์เคลลีให้แก่ผู้เล่นทั่วไปคือคำตอบที่ชัดเจน: ศูนย์ ทุกอย่างที่คุณเดิมพันเกินศูนย์คือราคาของการเล่น ที่คุณเลือกเอง ไม่ใช่ค่าที่สูตรใดหาค่าเหมาะสมที่สุดให้
หมายเหตุเรื่องเคลลีแบบเศษส่วนและ “การบริหารเงิน”
ระบบที่ขายในชื่อ “เคลลีสำหรับรูเล็ต” ซึ่งแนะนำให้เดิมพันเป็นเปอร์เซ็นต์คงที่ของเงินทุนในแต่ละครั้ง คือการเดิมพันคงที่กลยุทธ์การเดิมพันคงที่การเดิมพันจำนวนเงินเท่าเดิมทุกครั้งที่หมุน เป็นเส้นฐานที่ใช้เปรียบเทียบกับการเดินเงินทุกแบบอ่านทั้งหมด →ที่เงินเดิมพันหดลงเรื่อย ๆ ระบบเหล่านี้เสีย 2.70% ของยอดเดิมพันรวมเงินยอดเดิมพันรวมจำนวนเงินทั้งหมดที่เดิมพันตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่ง โดยนับเงินที่ชนะซึ่งนำกลับไปเดิมพันอีกด้วย เรียกอีกอย่างว่า handle หรือ actionอ่านทั้งหมด → และเพราะเงินเดิมพันหดลงเมื่อแพ้ จึงทำให้การหมดตัวมาถึงช้าลง ไม่ใช่มีโอกาสน้อยลง เป็นวิธีที่สมเหตุสมผลในการทำให้งบอยู่ได้นาน แต่ไม่ใช่เกณฑ์เคลลี ซึ่งจะบอกให้หยุด
สูตร
คำถาม
เฉพาะเมื่อมีความได้เปรียบที่วัดได้จากวงล้อเอนเอียงแล็บวงล้อเอนเอียงวงล้อที่มีตำหนิทางกายภาพจนบางช่องมีความน่าจะเป็นสูงกว่า 1/37 พบได้ยาก ตรวจพบได้ก็ต่อเมื่อมีบันทึกการหมุนหลายพันครั้งอ่านทั้งหมด →หรืออุปกรณ์จับเวลา ไม่ใช่บนวงล้อที่เที่ยงตรง
เพราะค่าประมาณความได้เปรียบมีความคลาดเคลื่อน และการเดิมพันมากเกินไปเสียหายมากกว่าการเดิมพันน้อยเกินไป ครึ่งเคลลีให้การเติบโตสามในสี่ ด้วยความแปรปรวนคณิตศาสตร์ความแปรปรวนมาตรวัดว่าผลลัพธ์กระจายรอบค่าคาดหวังกว้างเพียงใด สูงสำหรับสเตรทอัพ ต่ำสำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1อ่านทั้งหมด →เพียงหนึ่งในสี่
ไม่ เกณฑ์เคลลีหาการเติบโตสูงสุดเมื่อมีความได้เปรียบ การบริหารเงินทุนควบคุมการใช้จ่ายเมื่อไม่มีความได้เปรียบ
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
อุปกรณ์ทำนายของทอร์ป (Thorp) และแชนนอน (Shannon) ให้ความได้เปรียบราว 44% บนเลขที่ทำนายไว้เลขเดียว เกณฑ์เคลลีบอกให้เดิมพัน 1.26% ของเงินทุนเงินเงินทุนจำนวนเงินทั้งหมดที่กันไว้สำหรับเล่น การบริหารเงินทุนคือการตัดสินใจว่าจะเสี่ยงเท่าใดต่อเดิมพันและต่อเซสชันอ่านทั้งหมด → ถ้าความได้เปรียบ 44% เท่ากันนี้มาจากเดิมพันหนึ่งรายการที่กระจายบนเลขข้างเคียงห้าเลขล่ะ?
แสดงเฉลย
คำตอบ เกณฑ์เคลลีจะบอกให้เดิมพัน 7.1% ของเงินทุน และเงินทุนโตเร็วขึ้นเกือบหกเท่า: ราว 1.25 ล้านเท่าในการเดิมพัน 1,000 ครั้ง เทียบกับราว 11.5 เท่า
สเตรทอัพเดิมพันสเตรทอัพ(Straight Up) เลขเดียว จ่าย 35:1อ่านทั้งหมด → (Straight Up) ที่มีความได้เปรียบ 44% ชนะด้วยโอกาส 0.04 เพราะ 36 × 0.04 = 1.44 เงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลีคือความได้เปรียบหารด้วยอัตราจ่าย: 0.44/35 = 1.26% การเติบโตตามปกติต่อการเดิมพันคือ 0.04 × ln(1 + 35 × 0.0126) + 0.96 × ln(1 − 0.0126) ≈ 0.00244 ดังนั้นการเดิมพัน 1,000 ครั้งคูณเงินทุนราว e^2.44 ≈ 11.5
กระจายเงินเดิมพันหนึ่งก้อนบนห้าเลข เดิมพันจะชนะด้วยโอกาส 0.20 และจ่าย 36/5 ต่อ 1 รวมเงินเดิมพัน คือ 6.2 ต่อ 1: ยังคงมีความได้เปรียบ 44% เพราะ 0.2 × 7.2 = 1.44 เงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลีกลายเป็น 0.44/6.2 = 7.10% และการเติบโตต่อการเดิมพันคือ 0.01404 มากกว่าราว 5.75 เท่า ในการเดิมพัน 1,000 ครั้งได้ e^14.04 ราว 1.25 ล้าน
ความได้เปรียบเท่าเดิม แต่การแกว่งเล็กลง เดิมพันที่ชนะหนึ่งครั้งในห้าครั้งรับสัดส่วนของเงินทุนได้มากกว่าโดยไม่เสี่ยงหมดตัว และการเติบโตตามเกณฑ์เคลลีให้รางวัลกับเรื่องนี้ ทอร์ป (1984) ใช้ตัวอย่างนี้แสดงว่าทำไมผู้เล่นที่ใช้การทำนายจึงเดิมพันเซกเตอร์วงล้อเซกเตอร์ส่วนโค้งของช่องที่อยู่ต่อเนื่องกันบนวงล้อ ต่างจากกลุ่มเลขบนผังเดิมพันอ่านทั้งหมด → ในทางปฏิบัติเลขข้างเคียงเดิมพันเดิมพันเลขข้างเคียง(Neighbours) เลขหนึ่งเลขกับช่องข้างเคียงบนวงล้อข้างละสองช่อง ใช้ชิปสเตรทอัพห้าอันอ่านทั้งหมด →ห้าเลขมีความได้เปรียบต่ำกว่าเลขเดี่ยวที่ดีที่สุดเล็กน้อย (ดูหน้าการเล่นแบบได้เปรียบ)
ผู้เล่นคนหนึ่งพบช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →สองช่องที่อยู่ติดกัน ซึ่งแต่ละช่องออก 1 ครั้งใน 25 ครั้ง แทนที่จะเป็น 1 ใน 37 ควรเดิมพันสปลิตเดิมพันสปลิต(Split) สองเลขที่อยู่ติดกัน จ่าย 17:1อ่านทั้งหมด → (Split) ระหว่างสองช่องนั้นที่ 17 ต่อ 1 หรือเดิมพันสเตรทอัพแยกแต่ละเลข? เกณฑ์เคลลีบอกให้เดิมพันเท่าไร และเงินทุนเติบโตเร็วแค่ไหนเมื่อเทียบกับช่องแบบนี้เพียงช่องเดียว?
แสดงเฉลย
คำตอบ ไม่ต่างกัน: 2.59% ของเงินทุนบนสปลิต หรือ 1.29% บนแต่ละเลข เงินทุนแบบที่พบตามปกติเพิ่มขึ้นราว 155 เท่าในการหมุน 1,000 ครั้ง เทียบกับ 11.5 เท่าเมื่อมีช่องเดียว
สปลิตชนะด้วยความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด → 2/25 = 0.08 และจ่าย 17 ต่อ 1 จึงคืน 18 × 0.08 = 1.44 ต่อเงินเดิมพันหนึ่งหน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด →: ความได้เปรียบ 44% เท่ากับช่องเอนเอียงช่องเดียว เงินเดิมพันตามเกณฑ์เคลลีคือความได้เปรียบหารด้วยอัตราจ่าย: 0.44/17 = 2.59%
เดิมพันสเตรทอัพสองรายการ รายการละ 1.29% ให้ผลเหมือนกันทุกประการ เมื่อเลขใดเลขหนึ่งออก ชิปเงินชิปเหรียญแทนจำนวนเงินที่กำหนดไว้ วางบนผังเดิมพันเพื่อเดิมพัน เรียกอีกอย่างว่า chequeอ่านทั้งหมด →อันหนึ่งชนะ 35 ต่อ 1 และอีกอันแพ้ ได้สุทธิ 34 × 1.29% = 44% ของเงินทุน เท่ากับที่สปลิตจ่าย เมื่อไม่มีเลขใดออก ก็แพ้ทั้งคู่
อัตราการเติบโตต่อการหมุนคือ 0.00505 เทียบกับ 0.00244 สำหรับช่องเดียว ในการหมุน 1,000 ครั้ง เงินทุนแบบที่พบตามปกติจึงเพิ่มขึ้น e^5.046 ≈ 155 เท่า แทนที่จะเป็น e^2.44 ≈ 11.5 เท่า เลขดีสองตัวมีค่ามากกว่าสองเท่าของเลขดีตัวเดียวมาก นี่คือเหตุที่ผู้เล่นที่ใช้ความเอนเอียงเดิมพันเป็นกลุ่มเลข ทอร์ป (Thorp, 1984) ทำการเปรียบเทียบเดียวกันนี้
การ์ตูนคั่นเวลา
เงินเดิมพันรูเล็ตที่ให้การเติบโตสูงสุดเป็นตัวเลขที่ทุกคนรู้อยู่แล้ว
แหล่งที่มา
- Kelly, J. L. “A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. “Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”