เหตุผลวิบัติของนักพนัน
ความเชื่อว่าผลหนึ่ง “ถึงคราวออก” เพราะไม่ได้ออกมาสักพักแล้ว
หลังแดงออกสิบครั้ง ความน่าจะเป็นของดำยังคงเป็น 18/37 วงล้อไม่จดบันทึกอะไรและไม่ได้ติดค้างใคร
เหตุผลวิบัติ
ถ้าแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →ออกมาแล้วสิบครั้ง ผู้เล่นจำนวนมากรู้สึกว่าดำเดิมพันสีดำเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีดำ 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Noirอ่านทั้งหมด → “ถึงคราวออก” และเดิมพันตามนั้น บางคนรู้สึกว่าแดง “กำลังร้อน” และเดิมพันแดง ทั้งสองฝ่ายใช้เหตุผลจากลำดับที่จบไปแล้วไปหาการหมุนที่ยังไม่เกิดขึ้น ลูกบอลอุปกรณ์ลูกบอลลูกบอลขนาดเล็กที่ปล่อยให้วิ่งไปตามรางสวนทางกับโรเตอร์ ลูกบอลรุ่นใหม่ทำจากไอวอรีนหรือเทฟลอน ขนาด 18–21 มม.อ่านทั้งหมด →ไม่รู้ว่าการหมุนสิบครั้งที่ผ่านมาออกอะไร ช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →มีขนาดเท่าเมื่อชั่วโมงก่อน ความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ของดำคือ 18/37 เหมือนที่เป็นมาเสมอ
ทำไมจึงรู้สึกว่าจริง
ในระยะยาว สัดส่วนของแดงและดำลู่เข้าสู่ 18/37 แต่ละสีจริง กฎว่าด้วยจำนวนมากคณิตศาสตร์กฎว่าด้วยจำนวนมากค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นอิสระต่อกันลู่เข้าหาค่าคาดหวังเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้นอ่านทั้งหมด →รับประกันเรื่องนี้ แต่การลู่เข้าเกิดจากการเจือจาง ไม่ใช่การแก้ไข: หลังหมุนอีก 1,000 ครั้ง แดงที่เกินมาสิบครั้งเป็นแค่เศษปัดในสัดส่วน ไม่ใช่เพราะดำตามทัน แต่เพราะขนาดตัวอย่างโตขึ้น ไม่มีกลไกใดทำให้ดำมีโอกาสออกมากขึ้น และกฎว่าด้วยจำนวนมากก็ไม่ต้องการกลไกแบบนั้น
มอนติคาร์โล 18 สิงหาคม 1913
ดำออกติดต่อกัน 26 ครั้งที่โต๊ะหนึ่งใน Casino de Monte-Carlo ตั้งแต่ดำครั้งที่ราวสิบห้า ผู้เล่นแห่กันเดิมพันแดง เพิ่มเงินเป็นสองเท่าแล้วสองเท่าอีก แต่ละการหมุน “แน่นอนกว่า” ครั้งก่อน คาสิโนได้เงินไปหลายล้านฟรังก์ การออกติดต่อกันชุดนั้นมีความน่าจะเป็น 1 ใน 137 ล้านนับจากดำครั้งแรก และความน่าจะเป็นที่สักวันหนึ่งมันจะเกิดขึ้นที่ใดที่หนึ่งในคาสิโนทั่วโลกนั้นแทบจะเท่ากับหนึ่ง นี่คือเหตุผลที่เหตุผลวิบัติของนักพนัน (gambler's fallacy) มีอีกชื่อว่าเหตุผลวิบัติมอนติคาร์โล
ไม่มีอะไรพิเศษ เกิดขึ้นหนึ่งครั้งใน 44 ครั้ง
ผู้เล่นเริ่มสังเกต แดง “ถึงคราวออก”
โต๊ะแน่นขนัด เงินเดิมพันบนแดงถูกเพิ่มเป็นสองเท่าหลังแพ้ทุกครั้ง
เงินก้อนโตสูญไป ดำที่ออกใหม่แต่ละครั้งทำให้แดงรู้สึกแน่นอนยิ่งขึ้น
การออกติดต่อกันสิ้นสุด คาสิโนได้เงินไปหลายล้านฟรังก์จากคนที่เดิมพันสวนการออกติดต่อกันซึ่ง “รู้” ไม่ได้ว่าตัวเองเป็นการออกติดต่อกัน
มือขึ้น
การเดิมพันสีที่กำลังออกติดต่อกันคือความผิดพลาดเดียวกันในทิศกลับกัน: คาดว่าการออกติดต่อกันจะดำเนินต่อไปแทนที่จะจบ นักจิตวิทยาเรียกสิ่งนี้ว่ามือขึ้นความเชื่อผิด ๆมือขึ้น(hot hand) ความเชื่อว่าการชนะติดต่อกัน หรือผลแบบเดียวกันที่ออกติดต่อกัน ทำให้ผลนั้นมีโอกาสเกิดอีกมากขึ้น ที่วงล้อ มันคือเหตุผลวิบัติของนักพนันที่กลับทิศกันอ่านทั้งหมด → (hot hand) ตามงานวิจัยปี 1985 ของกิโลวิช (Gilovich) วัลโลน (Vallone) และทเวอร์สกี (Tversky) ที่ค้นหาการชู้ตลงติดต่อกันในบาสเกตบอลและไม่พบอะไรเกินกว่าความบังเอิญ ในปี 2018 มิลเลอร์ (Miller) และซันฆูร์โฆ (Sanjurjo) แสดงว่าตัวการทดสอบเองเอียง: ในบันทึกสั้น ๆ สัดส่วนการชู้ตลงหลังชู้ตลงจะออกมาต่ำกว่าอัตราโดยรวมของผู้ชู้ตโดยเฉลี่ย ผู้เล่นที่ไม่มีมือขึ้นเลยจึงดูเหมือนมือตกเล็กน้อย เมื่อแก้แล้ว ข้อมูลชุดเดียวกันแสดงมือขึ้นในระดับพอประมาณ คนเราร้อนมือขึ้นมาได้ แต่วงล้อไม่มีฟอร์มให้ขึ้นหรือลง ผู้เล่นบางคนเชื่อทั้งสองแบบพร้อมกัน คือการออกติดต่อกันจะดำเนินต่อไปจนกว่าจะ “ยาวเกินไป” แล้วจึงจบ บนวงล้อที่เที่ยงตรง ทุกแบบมีค่าคาดหวังคณิตศาสตร์ค่าคาดหวัง(EV) ผลลัพธ์เฉลี่ยต่อเดิมพันในระยะยาว เท่ากับ −1/37 ของเงินเดิมพันสำหรับเดิมพันมาตรฐานทุกแบบของรูเล็ตยุโรปอ่านทั้งหมด →เท่ากับการเลือกสีด้วยการโยนเหรียญ: −2.70% ของเงินเดิมพัน
ที่โต๊ะจริง
โครสันและซันดาลี (Croson and Sundali, 2005) ดูวิดีโอจากกล้องวงจรปิด 18 ชั่วโมงของโต๊ะศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด →คู่โต๊ะหนึ่งในคาสิโนขนาดใหญ่ที่รีโน: ผู้เล่น 139 คนวางเดิมพัน 24,131 รายการ ในเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1เดิมพันเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1แดง / ดำ คี่ / คู่ สูง / ต่ำ ครอบคลุม 18 เลข จ่าย 1:1อ่านทั้งหมด → ผู้เล่นแบ่งเป็นสองฝ่ายพอ ๆ กันระหว่างการเดิมพันตามการออกติดต่อกันช่วงสั้น ๆ และการเดิมพันสวน หลังผลเดียวกันออกห้าครั้งติดกัน พวกเขาเอนไปทางสวน และหลังหกครั้งขึ้นไป 85% ของเดิมพันอยู่ฝั่งตรงข้าม ผู้เล่นกลุ่มเดียวกันแสดงความเชื่อเรื่องมือขึ้นกับตัวเอง: หลังชนะเดิมพันเลข พวกเขาวางครอบคลุมเฉลี่ย 13.6 เลขในการหมุนครั้งถัดไป เทียบกับ 9.2 เลขหลังแพ้ วงล้อของพวกเขาไม่มีสัญญาณความเอนเอียง ทั้งหมดนี้จึงไม่ได้เปลี่ยนสิ่งที่ใครคาดหวังได้เลย
นอกคาสิโน
แรงดึงแบบเดียวกันปรากฏในที่ที่มีการตัดสินใจจริง คล็อตเฟลเตอร์และคุก (Clotfelter and Cook, 1993) ติดตามเกมเลขรายวันของรัฐแมริแลนด์: เงินที่เดิมพันบนเลขหนึ่งลดลงฮวบทันทีที่เลขนั้นออก และใช้เวลาหลายเดือนกว่าจะกลับมา แม้การออกรางวัลจะไม่มีความจำ เฉิน มอสโกวิตซ์ และชู (Chen, Moskowitz and Shue, 2016) พบสิ่งนี้ในหมู่มืออาชีพ ผู้พิพากษาคดีขอลี้ภัยในสหรัฐอเมริกามีแนวโน้มปฏิเสธคดีสูงขึ้นถึง 3.3 จุดเปอร์เซ็นต์ ถ้าคดีก่อนหน้านั้นพวกเขาอนุมัติ อัมไพร์เบสบอลมีแนวโน้มตัดสินสไตรก์ต่ำลง 1.5 จุดหลังเพิ่งตัดสินสไตรก์ไป และต่ำลงมากกว่าสองเท่าของนั้นสำหรับลูกที่ก้ำกึ่ง ในการทดลองภาคสนามกับเจ้าหน้าที่สินเชื่อที่ได้ค่าตอบแทนคงที่ การตัดสินใจถึง 9% กลับทิศด้วยเหตุนี้ คดีเข้ามาตามลำดับสุ่ม การตัดสินใจครั้งก่อนจึงไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับครั้งถัดไป เช่นเดียวกับที่การหมุนครั้งก่อนไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับครั้งถัดไป
เหตุผลวิบัติของนักพนันแบบผกผัน
เอียน แฮกกิง (Ian Hacking, 1987) นักปรัชญา ตั้งชื่อให้แบบที่สาม (inverse gambler's fallacy) มีคนเดินเข้าห้อง เห็นลูกเต๋าคู่หนึ่งออกหกคู่ แล้วสรุปว่าต้องทอยกันมาหลายครั้งแล้ว การทอยทุกครั้งมีโอกาสออกหกคู่เท่ากัน ไม่ว่าจะเป็นครั้งแรกของค่ำคืนหรือครั้งที่หนึ่งพัน ภาพที่เห็นจึงไม่ได้บอกอะไรเลยว่าเกมดำเนินมานานเท่าไร ที่รูเล็ต นี่คือผู้เล่นที่มาถึงกระดานแสดงผลซึ่งมีแดงแปดครั้ง แล้วตัดสินว่าโต๊ะต้องหมุนมาหลายชั่วโมงแล้วจึงได้ผลแบบนี้ เหตุผลวิบัติแบบธรรมดาอ่านอดีตเข้าไปในการหมุนครั้งถัดไป ส่วนแบบนี้อ่านภาพที่หาได้ยากเข้าไปในอดีตที่ไม่มีใครเห็น
นักจิตวิทยาที่เชื่อเรื่องนี้
เหตุผลวิบัตินี้เคยมีผู้รู้ออกมาปกป้อง คาร์ล มาร์เบ (Karl Marbe) นักจิตวิทยาชาวเยอรมัน ตรวจทะเบียนการเกิดสี่ชุด ชุดละ 49,152 ราย พบว่าการเกิดเป็นเด็กชายติดต่อกันหรือเด็กหญิงติดต่อกันที่ยาวที่สุดคือ 17 ราย และสรุปว่าการออกติดต่อกันยาว ๆ เกิดน้อยกว่าที่ความบังเอิญจะยอมให้ การออกติดต่อกันจึงทำให้ผลอีกแบบมีโอกาสเกิดมากขึ้น ความบังเอิญล้วน ๆ บอกเป็นอย่างอื่น ในการเกิด 196,608 ราย การเกิดเพศเดียวกันติดต่อกัน 17 รายขึ้นไปจะปรากฏราวสี่ในห้าครั้ง สิ่งที่มาร์เบพบก็คือลักษณะของลำดับสุ่มทุกประการ เอปสตีน (Epstein, 2013) เล่าเรื่องนี้ไว้อีกครั้ง ส่วนหน้าความน่าจะเป็นของการออกติดต่อกันให้ฉบับที่เป็นรูเล็ต
เมื่อเหตุผลวิบัตินี้ใช้ไม่ได้
ถ้าวงล้อเอนเอียงทางกายภาพ การหมุนที่ผ่านมาจะให้ข้อมูล เพราะเป็นหลักฐานเกี่ยวกับช่อง ไม่ใช่เกี่ยวกับโชค นั่นคือหัวข้อของห้องแล็บ และต้องใช้การหมุนหลายพันครั้งจากวงล้อหนึ่งวงที่ระบุได้จึงจะพูดอะไรได้ สำหรับแดงออกติดต่อกันสิบครั้งบนวงล้อที่ไม่รู้จัก คำอธิบายเรื่องความเอนเอียงมีโอกาสเป็นจริงน้อยกว่าคำอธิบายเรื่องความบังเอิญมาก
คำถาม
ไม่ ใช้กับเหตุการณ์ซ้ำที่เป็นอิสระต่อกันทุกแบบ: ลูกเต๋า เหรียญ เลขลอตเตอรี่
สัดส่วนจะเข้าใกล้กัน ผลลัพธ์ของคุณจะยังคงเป็นราว −2.70% ของยอดที่เดิมพัน
ไม่มีกฎของค่าเฉลี่ย มีแต่กฎว่าด้วยจำนวนมาก และมันทำงานด้วยการเจือจาง
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
หลังโยน 10 ครั้ง เหรียญออกหัว 7 ครั้งและก้อย 3 ครั้ง หลังโยน 1,000 ครั้ง ออกหัว 517 ครั้งและก้อย 483 ครั้ง ก้อยตามทันหรือไม่?
แสดงเฉลย
คำตอบ ไม่ ส่วนต่างเพิ่มจาก 4 เป็น 34 มีเพียงอัตราส่วนที่เข้าใกล้เท่ากันมากขึ้น
อัตราส่วนหัวต่อก้อยลดจาก 7/3 หรือราว 2.33 เป็น 517/483 หรือราว 1.07 นั่นคือกฎว่าด้วยจำนวนมากคณิตศาสตร์กฎว่าด้วยจำนวนมากค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นอิสระต่อกันลู่เข้าหาค่าคาดหวังเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้นอ่านทั้งหมด →ที่กำลังทำงาน
ส่วนต่างระหว่างทั้งสองเพิ่มขึ้น จาก 4 เป็น 34 สำหรับเหรียญที่เที่ยงตรง ส่วนต่างราว 30 หลังโยน 1,000 ครั้งเป็นเรื่องปกติ: ส่วนต่างโดยทั่วไปเพิ่มขึ้นตามรากที่สองของจำนวนครั้งที่โยนโดยประมาณ ขณะที่อัตราส่วนค่อย ๆ เข้าหา 1
ไม่มีอะไรดึงก้อยกลับมา หัวที่เกินมาในช่วงแรกถูกเจือจางด้วยการโยนอีก 990 ครั้งถัดมา ไม่ได้ถูกแก้ให้ถูก
โยนเหรียญสี่ครั้ง แล้วดูเฉพาะการโยนที่ตามหลังหัวทันที การโยนเหล่านั้นออกหัวเป็นสัดส่วนเท่าไร? คำนวณสำหรับลำดับที่เป็นไปได้ทั้ง 16 แบบ แล้วหาค่าเฉลี่ยของสัดส่วนเหล่านั้น ได้ 50% หรือไม่?
แสดงเฉลย
คำตอบ ไม่ ได้ 17/42 หรือราว 40.5% เมื่อมองแบบนี้ เหรียญที่เที่ยงตรงดูเหมือนจะ “มือตก” หลังออกหัว
เขียนลำดับทั้ง 16 แบบ (H = หัว, T = ก้อย) มีสองแบบคือ TTTT และ TTTH ที่ไม่มีหัวในการโยนสามครั้งแรก จึงไม่มีการโยนใดตามหลังหัว เหลือ 14 แบบ
ในแต่ละแบบ ให้ดูการโยนที่ตามหลังหัวและหาสัดส่วนที่เป็นหัว HHHH ได้ 3 จาก 3 HHHT ได้ 2 จาก 3 HTHT ได้ 0 จาก 2 เมื่อไล่ครบทั้ง 14 แบบ: หกแบบได้ 0 สี่แบบได้ 1/2 หนึ่งแบบได้ 2/3 และสามแบบได้ 1 (HHHH, THHH และ TTHH)
รวมสัดส่วน: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3 หารด้วย 14: 17/42 ≈ 40.5%
ไม่มีการโยนใดเข้าข้างก้อย แต่ละครั้งเป็น 50–50 ความเอียงมาจากการเฉลี่ยทีละลำดับ: ลำดับที่เต็มไปด้วยหัวมีการโยนให้ดูหลายครั้ง แต่นับเพียงครั้งเดียว เท่ากับลำดับที่มีหัวแค่ครั้งเดียว มิลเลอร์และซันฆูร์โฆ (Miller and Sanjurjo, 2018) แสดงว่างานวิจัยเรื่องมือขึ้นปี 1985 วัดผู้เล่นบาสเกตบอลด้วยวิธีนี้ ผู้เล่นที่ดูไม่ได้ออกติดต่อกันมากกว่าความบังเอิญ แท้จริงจึงออกติดต่อกันมากกว่าอยู่บ้าง
การ์ตูนคั่นเวลา
เจือจาง ไม่ใช่แก้ไข วงล้อไม่ได้ติดค้างใคร
แหล่งที่มา
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”