ความเชื่อผิด ๆ: ระบบเอาชนะวงล้อได้
“ฉันมีระบบที่ชนะ 80% ของจำนวนครั้ง” อาจจะมีจริง แต่มันก็ยังเสียเงิน
ระบบหนึ่งทำให้เซสชันที่ชนะเกิดขึ้นบ่อยได้ แต่ทำให้ค่าคาดหวังเป็นบวกไม่ได้ เพราะทุกเดิมพันที่มันวางมีค่าคาดหวัง −1/37 ของเงินเดิมพัน และค่าคาดหวังบวกกันได้ ระบบที่ชนะบ่อยที่สุดคือระบบที่เสียหนักที่สุดเมื่อแพ้
คำกล่าวอ้าง
ระบบที่เปลี่ยนเงินเดิมพันตามผลที่ผ่านมาจะทำให้รูเล็ตกลายเป็นเกมที่ชนะได้ หลักฐานที่ยกมา: ชนะติดต่อกันหลายเซสชัน วิดีโอ คำรับรองจากผู้ใช้ สเปรดชีตของสัปดาห์ที่โชคดี คำกล่าวอ้างนี้มักพูดด้วยความสุจริต คนพูดเชื่อเพราะมันได้ผลมาตลอด
ทำไมจึงผิด ในบรรทัดเดียว
ค่าคาดหวังคณิตศาสตร์ค่าคาดหวัง(EV) ผลลัพธ์เฉลี่ยต่อเดิมพันในระยะยาว เท่ากับ −1/37 ของเงินเดิมพันสำหรับเดิมพันมาตรฐานทุกแบบของรูเล็ตยุโรปอ่านทั้งหมด → (EV) บวกกันได้ ถ้าเดิมพันแต่ละรายการมี EV = −1/37 ของเงินเดิมพัน ลำดับของเดิมพันใด ๆ ก็มี EV = −1/37 ของเงินเดิมพันทั้งหมด ไม่ว่ากฎใดจะเป็นตัวเลือกเงินเดิมพัน ระบบคือกฎสำหรับเลือกเงินเดิมพัน ดังนั้นทุกระบบมี EV = −1/37 ของยอดเดิมพันรวมเงินยอดเดิมพันรวมจำนวนเงินทั้งหมดที่เดิมพันตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่ง โดยนับเงินที่ชนะซึ่งนำกลับไปเดิมพันอีกด้วย เรียกอีกอย่างว่า handle หรือ actionอ่านทั้งหมด → นี่คือทฤษฎีบท (ดูบ (Doob) และแฮลมอส (Halmos) พิสูจน์ไว้ในทศวรรษ 1930 ส่วนทอร์ป (Thorp) 1969 ระบุเงื่อนไข) และไม่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎที่ฉลาด เงื่อนไขเดียวที่ควรรู้คือเงินเดิมพันขั้นต่ำ: ตัวอย่างของทอร์ปเดิมพัน $1,000 บนสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด → จากนั้น 90 เซนต์ แล้ว 9 เซนต์ ไปเรื่อย ๆ เล็กลงไม่สิ้นสุด ด้วยโอกาส 18/37 เดิมพันแรกชนะ และผู้เล่นจะนำอยู่ตลอดไป แม้ผลคาดหวังยังเป็น −1/37 ของทุกอย่างที่เดิมพัน เงินเดิมพันขั้นต่ำของโต๊ะจริงหยุดเรื่องนี้ไว้ และหยุดความหวังทุกอย่างที่จะนำอยู่ในระยะยาวไปด้วย
ทำไมมันดูเหมือนได้ผล
การเดินเงินกลยุทธ์การเดินเงินกฎใดก็ตามที่เปลี่ยนเงินเดิมพันตามผลที่ผ่านมา การเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อแพ้จะเพิ่มเงินเดิมพันหลังแพ้ ส่วนการเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อชนะจะเพิ่มหลังชนะอ่านทั้งหมด →แบบเพิ่มเมื่อแพ้ทำให้เซสชันที่ชนะเกิดขึ้นบ่อย มาร์ติงเกลกลยุทธ์มาร์ติงเกลการเดินเงินที่เพิ่มเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้แต่ละครั้ง ดูหมวดกลยุทธ์ว่าระบบนี้ทำอะไรได้และทำอะไรไม่ได้อ่านทั้งหมด →ที่เริ่มจาก $10 ที่ลิมิต $500 จบเซสชันที่หมุน 100 ครั้งโดยได้อยู่ไม่กี่หน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด →ราว 80% ของเซสชัน ผู้เล่นที่ใช้มันยี่สิบเซสชันจะชนะสิบหกเซสชันและจำเรื่องนั้นไว้ เซสชันที่แพ้สี่เซสชันแต่ละเซสชันเสียมากกว่าที่เซสชันที่ชนะสิบเซสชันได้ และผลรวมจากการคำนวณตลอดยี่สิบเซสชันเป็นลบ ระบบไม่ได้เปลี่ยนค่าเฉลี่ย มันแค่ย้ายเงินที่เสียไปอยู่ในเซสชันที่น้อยลงแต่ใหญ่ขึ้น ซึ่งเรียกว่าดวงไม่ดีได้ง่ายกว่า
การทดสอบที่ใครก็ทำได้
เครื่องจำลองกลยุทธ์บนเว็บไซต์นี้จำลอง 10,000 เซสชันของระบบใดก็ได้ หรือโค้ดของคุณเอง ภายในหนึ่งวินาที ตั้งค่าให้เป็นระบบที่คุณเชื่อ แล้วอ่านค่าเฉลี่ย ถ้าค่าเฉลี่ยเป็นบวกสำหรับการตั้งค่าใดก็ตาม หน้านี้จะบอกไว้ ทุกการตั้งค่า ทุกระบบ ทุกลิมิตโต๊ะโต๊ะลิมิตโต๊ะเดิมพันต่ำสุดและสูงสุดที่อนุญาต ลิมิตสูงสุดคือสิ่งที่หยุดการเดินเงินแบบเพิ่มเป็นสองเท่าอ่านทั้งหมด → ให้ค่าเฉลี่ย −2.70% ของยอดเดิมพันรวมบวกสัญญาณรบกวน คำรับรองจากผู้ใช้คือตัวอย่างขนาดหนึ่ง เครื่องจำลองคือตัวอย่างขนาด 10,000
ระบบที่แพ้ไม่ได้
ในปี 1997 ไมก์ แคโร (Mike Caro) นักเขียนเรื่องโป๊กเกอร์ โพสต์ระบบรูเล็ตระบบหนึ่งเป็นเรื่องตลก และ Gambling Times นำมาตีพิมพ์ซ้ำในปี 2001 มันคือรายการเดิมพันที่ต้องหลีกเลี่ยง: ห้ามแดงหรือดำเดิมพันสีดำเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีดำ 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Noirอ่านทั้งหมด → คี่หรือคู่ หรือศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด → ห้ามเลขคี่สีแดงและเลขคู่สีดำ และห้ามวางอะไรบนเลข 30 หรือบนช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →แนวยาวจากเลข 11 วนตามเข็มนาฬิกาไปถึงเลข 14 บนวงล้ออเมริกัน รวมกฎทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วไม่เหลือเลขใดเลย ช่องที่อยู่นอกแนวนั้นมีเพียง 0, 28, 9, 26, 30 และ 2 เลข 30 ถูกห้ามโดยระบุชื่อ ที่เหลือเป็นศูนย์ เลขคู่สีดำ หรือเลขคี่สีแดง ผู้เล่นที่ทำตามระบบนี้ไม่เคยเดิมพันและไม่เคยแพ้ ความได้เปรียบของมันเป็นศูนย์ และมันเป็นระบบรูเล็ตระบบเดียวที่ซื่อตรงว่าไปถึงจุดนั้นได้อย่างไร
ระบบที่มีชื่อ ระบบละหนึ่งบรรทัด
ระบบที่ขายภายใต้ชื่อก็ไม่ต่างกัน แต่ละระบบคือชุดของเดิมพัน และแต่ละเดิมพันจ่ายให้วงล้อ 2.70% ของมัน บอลล์แมน (Bollman, 2024) ไล่คำนวณหลายระบบสำหรับวงล้ออเมริกัน ซึ่งทุกระบบมีต้นทุน 5.26% ส่วนที่นี่คำนวณบนวงล้อยุโรป
ฉบับที่ซื่อตรง
ระบบเปลี่ยนรูปร่างของเซสชัน: ชนะบ่อยแค่ไหน การชนะใหญ่แค่ไหน กรณีเลวร้ายที่สุดแย่แค่ไหน สิ่งเหล่านี้เป็นทางเลือกจริง และผู้เล่นอาจชอบรูปร่างแบบหนึ่งมากกว่าอีกแบบ สิ่งที่ระบบไม่เปลี่ยนคือราคา ซึ่งคือ 2.70% ของทุกอย่างที่เดิมพัน และเพราะการเดินเงินเดิมพันมากกว่าการเดิมพันคงที่กลยุทธ์การเดิมพันคงที่การเดิมพันจำนวนเงินเท่าเดิมทุกครั้งที่หมุน เป็นเส้นฐานที่ใช้เปรียบเทียบกับการเดินเงินทุกแบบอ่านทั้งหมด → มันจึงจ่ายราคานี้มากกว่า
คำถาม
เซสชันรายสัปดาห์ตลอดหกเดือนคือราว 25 เซสชัน มาร์ติงเกลชนะ 80% ของเซสชันเหล่านั้น เซสชันที่แพ้กำลังจะมา และมันใหญ่กว่า
กฎหยุดเล่นลดยอดเดิมพันรวม จึงลดผลขาดทุนคาดหวังคณิตศาสตร์ผลขาดทุนคาดหวังค่าคาดหวังคูณด้วยยอดเงินที่เดิมพันทั้งหมด คือจำนวนเงินที่เสียโดยเฉลี่ยตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่งอ่านทั้งหมด → แต่ไม่ได้ทำให้เป็นบวก
ไม่มีบนวงล้อที่เที่ยงตรง บนวงล้อเอนเอียงแล็บวงล้อเอนเอียงวงล้อที่มีตำหนิทางกายภาพจนบางช่องมีความน่าจะเป็นสูงกว่า 1/37 พบได้ยาก ตรวจพบได้ก็ต่อเมื่อมีบันทึกการหมุนหลายพันครั้งอ่านทั้งหมด →มี แต่นั่นเป็นปัญหาทางฟิสิกส์ ไม่ใช่ระบบ
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
ระบบล้อเล่นปี 1997 ของไมก์ คาโร (Mike Caro) สำหรับวงล้ออเมริกันห้ามเดิมพันสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →และสีดำเดิมพันสีดำเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีดำ 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Noirอ่านทั้งหมด → เลขคี่และเลขคู่ และศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด →ทั้งสองช่อง ห้ามเลขแดงที่เป็นเลขคี่และเลขดำที่เป็นเลขคู่ ห้ามเลข 30 และห้ามทุกช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →ในแนวตั้งแต่ 11 วนตามเข็มนาฬิกาไปจนถึง 14 ให้ใช้กฎทีละข้อ เหลือเลขใดให้เดิมพันบ้าง?
แสดงเฉลย
คำตอบ ไม่เหลือเลย ระบบนี้ไม่เคยเดิมพัน ความได้เปรียบของมันจึงเป็นศูนย์พอดี
การห้ามแดง ดำ คี่ คู่ และศูนย์ เหลือเพียงเดิมพันเลขเดี่ยวและกลุ่มเลขเล็ก ๆ ในช่วง 1 ถึง 36
ไม่มีเลขแดงที่เป็นเลขคี่และไม่มีเลขดำที่เป็นเลขคู่ จึงเหลือเลขแดงที่เป็นเลขคู่ (12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36) และเลขดำที่เป็นเลขคี่ (11, 13, 15, 17, 29, 31, 33, 35): สิบหกเลข ห้าม 30 แล้วเหลือสิบห้าเลข
บนวงล้ออเมริกัน แนวตั้งแต่ 11 ตามเข็มนาฬิกาไปถึง 14 ครอบคลุม 32 จาก 38 ช่อง หกช่องที่อยู่นอกแนวคือ 0, 28, 9, 26, 30 และ 2 เลขที่รอดมาทั้งสิบห้าตัวอยู่ในแนวนี้ทั้งหมด กฎข้อสุดท้ายจึงตัดออกไปด้วย ระบบที่ไม่เคยเดิมพันเป็นระบบเดียวที่ไม่เคยแพ้ ซึ่งคือประเด็นของคาโร
Kryptos เดินมาร์ติงเกลกลยุทธ์มาร์ติงเกลการเดินเงินที่เพิ่มเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้แต่ละครั้ง ดูหมวดกลยุทธ์ว่าระบบนี้ทำอะไรได้และทำอะไรไม่ได้อ่านทั้งหมด →สามสายพร้อมกัน สายละหนึ่งคู่ของเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1เดิมพันเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1แดง / ดำ คี่ / คู่ สูง / ต่ำ ครอบคลุม 18 เลข จ่าย 1:1อ่านทั้งหมด → (สูงหรือต่ำ คี่หรือคู่ แดงหรือดำ) โดยเงินเดิมพันคือ 1, 2, 4, 8, 16, 32 และหยุดหลังแพ้หกครั้ง ให้พิจารณาสายหนึ่งในสามสายบนวงล้อยุโรป สายนั้นแพ้ครบทั้งหกเดิมพันบ่อยแค่ไหน หนึ่งรอบได้ผลเฉลี่ยเท่าไร และคิดเป็นสัดส่วนเท่าไรของเงินที่เดิมพัน?
แสดงเฉลย
คำตอบ แพ้ครบทั้งหกราวหนึ่งครั้งใน 55 รอบ หรือ 1.83% ของจำนวนครั้ง และเสีย 63 หน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด → โดยเฉลี่ยหนึ่งรอบเสียราว 0.17 หน่วยจากเงินเดิมพัน 6.42 หน่วย: 2.70% ซึ่งคือราคาของทุกเดิมพันบนวงล้อ
เดิมพันมีโอกาสแพ้ 19/37 รวมศูนย์แล้ว แพ้หกครั้งติดต่อกัน: (19/37)⁶ = 0.0183 ราว 1 ใน 55 แล้วเงินเดิมพัน 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 ก็หมดไป ไม่อย่างนั้นรอบจะจบด้วยการชนะและได้ +1 หน่วย
ค่าเฉลี่ย: 1 × (1 − 0.0183) − 63 × 0.0183 = 1 − 64 × 0.0183 = −0.17 หน่วย
เงินที่เดิมพัน: เดิมพันแรกถูกวางเสมอ เดิมพันที่สองวางเฉพาะหลังแพ้ และต่อไปเรื่อย ๆ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 32 × (19/37)⁵ = 6.42 หน่วย และ −0.17/6.42 = −2.70%
ผลการหมุนหกครั้งที่จดไว้มีหน้าที่แค่ตัดสินว่าแต่ละเดิมพันอยู่ฝั่งไหน และวงล้อไม่มีทางรู้ผลเหล่านั้น การเดินทั้งสามชุดทำให้เงินที่เดิมพันเป็นสามเท่าและผลขาดทุนเฉลี่ยก็เป็นสามเท่าตามไปด้วย บอลแมน (Bollman, 2024) คำนวณระบบนี้บนวงล้ออเมริกัน ซึ่งแต่ละชุดแพ้หกครั้งติดต่อกัน 2.1% ของจำนวนครั้ง
การ์ตูนคั่นเวลา
ชนะบ่อยกับชนะเงินเป็นตัวเลขคนละตัว
แหล่งที่มา
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Doob, J. L. “Note on probability.”
- Halmos, P. R. “Invariants of certain stochastic transformations: the mathematical theory of gambling systems.”
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Bollman, M. Mathematics of the Big Four Casino Table Games: Blackjack, Baccarat, Craps, & Roulette.
- Bollman, M. Basic Gambling Mathematics: The Numbers Behind the Neon, 2nd ed.