ความเสี่ยงหมดตัว

คำถาม

คุณมีเงินทุนเงินเงินทุนจำนวนเงินทั้งหมดที่กันไว้สำหรับเล่น การบริหารเงินทุนคือการตัดสินใจว่าจะเสี่ยงเท่าใดต่อเดิมพันและต่อเซสชันอ่านทั้งหมด → a หน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด → และต้องการไปถึง a + b หน่วย โดยเดิมพันครั้งละหนึ่งหน่วยบนเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1เดิมพันเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1แดง / ดำ คี่ / คู่ สูง / ต่ำ ครอบคลุม 18 เลข จ่าย 1:1อ่านทั้งหมด → ที่มีความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ชนะ p = 18/37 และความน่าจะเป็นแพ้ q = 19/37 โอกาสที่คุณจะถึงเป้าหมายก่อนถึงศูนย์เป็นเท่าไร? คำตอบถูกคิดออกโดยแบลซ ปัสกาล (Blaise Pascal) แฟร์มา (Fermat) และเฮยเคินส์ (Huygens) ในทศวรรษ 1650 และเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่เก่าแก่ที่สุดของทฤษฎีความน่าจะเป็น

แบลซ ปัสกาล

สูตรการหมดตัวของนักพนัน

P(ถึงเป้าหมาย) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ) ความเสี่ยงหมดตัวคณิตศาสตร์ความเสี่ยงหมดตัวความน่าจะเป็นที่จะเสียเงินทุนทั้งหมดก่อนถึงเป้าหมายหรือก่อนครบจำนวนครั้งที่หมุนอ่านทั้งหมด →คือหนึ่งลบค่านั้น เมื่อ q/p = 19/18 ≈ 1.0556 อัตราส่วนนี้โตแบบเลขชี้กำลังตามจำนวนหน่วย สูตรจึงลงโทษหน่วยเล็กอย่างหนัก: ยิ่งต้องเดิมพันหลายครั้งกว่าจะถึงเป้า ก็ยิ่งต้องจ่ายค่าผ่านทาง 2.70% ระหว่างทางหลายครั้ง

การอ่านผล

หน่วยที่เล็กกว่าส่งผลเสีย การพยายามเพิ่ม $500 เป็นสองเท่าด้วยเดิมพันครั้งละ $10 สำเร็จ 6% ของจำนวนครั้ง ด้วยเดิมพัน $500 ครั้งเดียวสำเร็จ 48.6% ของจำนวนครั้ง การเดิมพันแบบกล้าได้กล้าเสีย คือเดิมพันน้อยครั้งแต่ก้อนใหญ่ ทำให้โอกาสถึงเป้าหมายในเกมที่ค่าคาดหวังติดลบสูงที่สุด เพราะทำให้จำนวนครั้งที่ความได้เปรียบถูกนำมาใช้น้อยที่สุด มันยังทำให้ความแปรปรวนคณิตศาสตร์ความแปรปรวนมาตรวัดว่าผลลัพธ์กระจายรอบค่าคาดหวังกว้างเพียงใด สูงสำหรับสเตรทอัพ ต่ำสำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1อ่านทั้งหมด →ของสิ่งที่เกิดกับคุณสูงที่สุด และทำให้ค่ำคืนจบเร็ว ทฤษฎีบทนี้ชื่อว่า “การเดิมพันแบบกล้าได้กล้าเสียดีที่สุด” และพิสูจน์โดยดูบินส์ (Dubins) และซาเวจ (Savage) ในปี 1965

จุดเริ่มต้นของปัญหา

คำถามนี้เก่ากว่ารูเล็ต ในปี 1656 ปัสกาลตั้งโจทย์ให้แฟร์มา ผู้เล่นสองคนทอยลูกเต๋าสามลูก แต่ละคนเริ่มด้วยเบี้ย 12 อัน ทอยได้ 11 เบี้ยหนึ่งอันจะย้ายไปทางหนึ่ง ทอยได้ 14 ย้ายไปอีกทาง ทั้งสองคนแก้ได้ และเฮยเคินส์ ซึ่งได้ยินเรื่องนี้จากจดหมายของนักคณิตศาสตร์ปีแยร์ เดอ การ์กาวี (Pierre de Carcavi) ตีพิมพ์โจทย์นี้ในปี 1657 เป็นโจทย์ข้อที่ห้าในหนังสือเล่มแรกว่าด้วยความน่าจะเป็น พร้อมคำตอบแต่ไม่มีการพิสูจน์ แต้มสิบเอ็ดทอยได้ 27 แบบ แต่แต้มสิบสี่ทอยได้เพียง 15 แบบ เบี้ยแต่ละอันจึงย้ายไปทางผู้เล่นคนแรก 9 ครั้งใน 14 ครั้ง และสูตรข้างบนเมื่อแต่ละคนมีเบี้ย 12 อัน ทำให้โอกาสที่เขาจะได้ทั้งหมดมากกว่าโอกาสที่จะเสียทั้งหมดราว 1,157 เท่า ความได้เปรียบ 2.70% เล็กกว่ามาก แต่สูตรเดียวกันแสดงว่ามันทำอะไรเมื่อเดิมพันหลายครั้ง

เดิมพันกล้าได้กล้าเสียของจริง

ในเดือนเมษายน 2004 แอชลีย์ เรเวลล์ (Ashley Revell) ชายหนุ่มชาวอังกฤษ ขายเกือบทุกอย่างที่มีรวมถึงเสื้อผ้า แล้วนำเงิน $135,300 ไปที่ Plaza ในลาสเวกัส หลังเดิมพันเล็ก ๆ ไม่กี่ครั้ง เขาวางเงินทั้งหมดบนแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →เพียงครั้งเดียว ลูกบอลอุปกรณ์ลูกบอลลูกบอลขนาดเล็กที่ปล่อยให้วิ่งไปตามรางสวนทางกับโรเตอร์ ลูกบอลรุ่นใหม่ทำจากไอวอรีนหรือเทฟลอน ขนาด 18–21 มม.อ่านทั้งหมด →ตกที่ 7 แดง และเขาเดินออกมาพร้อม $270,600 บนวงล้อศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด →คู่ การหมุนครั้งเดียวนั้นมีโอกาส 47.37% และทำให้เขาเสียโดยเฉลี่ย $7,121 คือความได้เปรียบ 5.26% บนเดิมพันเดียว ถ้ากระจายเป้าหมายเดียวกันเป็นเดิมพันครั้งละ $10 แทบไม่มีหวัง การเล่นแบบกล้าได้กล้าเสียไม่ได้ทำให้เดิมพันดีขึ้น แต่ทำให้มันสั้นที่สุดเท่าที่ทำได้

ความเสี่ยงหมดตัวเมื่อไม่มีเป้าหมาย

ถ้าคุณเล่นไปเรื่อย ๆ จนหมดตัวหรือหยุดหลังหมุน N ครั้ง คำถามจะกลายเป็น “โอกาสที่เงินทุนจะแตะศูนย์ภายในการหมุน N ครั้งเป็นเท่าไร?” ไม่มีสูตรปิดสำหรับ N ทั่วไป แต่เครื่องจำลองบนเว็บไซต์นี้คำนวณได้: เงินทุน $500 เดิมพันสีแดงครั้งละ $10 แทบไม่เคยหมดตัวในการหมุน 100 ครั้ง (ต่ำกว่า 1%) หมดตัวราว 9% ของจำนวนครั้งในการหมุน 500 ครั้ง และราว 95% ในการหมุน 5,000 ครั้ง ถ้าไม่มีกฎหยุด ความน่าจะเป็นจะเข้าใกล้ 100% ซึ่งคือความได้เปรียบของเจ้ามือคณิตศาสตร์ความได้เปรียบของเจ้ามือ(house edge) ส่วนของเงินเดิมพันแต่ละครั้งที่คาสิโนเก็บไว้โดยเฉลี่ย: 2.70% ในรูเล็ตยุโรปอ่านทั้งหมด → (house edge) ในรูประยะยาว

การลู่เข้าในระยะยาว

อยู่ได้นานแค่ไหน และได้กำไรไปได้ไกลแค่ไหน

ผลลัพธ์คลาสสิกอีกสองข้อตอบคำถามที่ผู้เล่นถามกันจริง ๆ เมื่อไม่มีเป้าหมาย การเดิมพันคงที่บนเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 จะหมุนได้โดยเฉลี่ย 37 ครั้งต่อเงินทุนแต่ละหน่วยบนวงล้อยุโรป และ 19 ครั้งบนวงล้ออเมริกัน เพราะการหมุนแต่ละครั้งกินเงินไปโดยเฉลี่ย 1/37 หน่วย (1/19 บนวงล้ออเมริกัน): เงินทุน 100 หน่วยอยู่ได้โดยเฉลี่ย 3,700 ครั้ง แม้ว่าครึ่งหนึ่งของเซสชันแบบนี้จะจบภายใน 3,134 ครั้ง (ดูหน้าความยาวของเซสชันกับต้นทุน) และไม่ว่าเงินทุนจะมากแค่ไหน โอกาสบนวงล้อยุโรปที่จะเคยได้กำไรถึง k หน่วยคือ (18/19)ᵏ ซึ่งเท่ากับ 95% สำหรับหนึ่งหน่วย และ 58% สำหรับสิบหน่วย แต่ไม่มีเงินทุนใด ไม่ว่าจะมากเพียงใด ที่ให้โอกาสครึ่งต่อครึ่งว่าจะเคยได้กำไรถึง 13 หน่วย ส่วนบนวงล้ออเมริกัน โอกาสคือ (9/10)ᵏ และลดลงต่ำกว่าครึ่งหนึ่งที่ 7 หน่วย

ความยาวของเซสชันกับต้นทุนรูเล็ตอเมริกัน

เงินทุนสำหรับโอกาสครึ่งต่อครึ่ง

ลองกลับคำถาม: ต้องมีเงินมาเท่าไรจึงจะมีโอกาสอย่างน้อยครึ่งต่อครึ่งที่จะชนะได้จำนวนหนึ่งก่อนเสียเงินจนหมด ถ้าจำนวนที่ต้องการชนะน้อย ก็ไม่ต้องมีมาก ถ้ามากขึ้น เงินทุนที่ต้องใช้จะพุ่งขึ้นอย่างรวดเร็ว และเมื่อเลยจุดหนึ่งไป ไม่มีเงินทุนเท่าไรที่พอ เพราะแม้เงินทุนไม่จำกัดก็ยังให้โอกาสน้อยกว่าครึ่งต่อครึ่งที่จะนำหน้าได้ถึงขนาดนั้น เทย์เลอร์ (Taylor, 2021) อธิบายอีกแบบหนึ่ง: บนวงล้ออเมริกัน ถ้าจะมีโอกาสครึ่งต่อครึ่งที่จะไปถึง 100 หน่วย คุณต้องเริ่มที่ 94 หน่วย คือเสี่ยง 94 เพื่อชนะ 6 บนวงล้อยุโรปต้องใช้ 88

บทเรียนในทางปฏิบัติ

ตัดสินใจว่ากำลังพยายามทำอะไร ถ้าเป้าหมายคือได้เงินจำนวนหนึ่งที่เจาะจง ให้เดิมพันก้อนใหญ่และน้อยครั้ง ถ้าเป้าหมายคือค่ำคืนที่ยาวนาน ให้เดิมพันน้อยและยอมรับว่าความได้เปรียบจะเก็บ 2.70% ของยอดเดิมพันรวมเงินยอดเดิมพันรวมจำนวนเงินทั้งหมดที่เดิมพันตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่ง โดยนับเงินที่ชนะซึ่งนำกลับไปเดิมพันอีกด้วย เรียกอีกอย่างว่า handle หรือ actionอ่านทั้งหมด →ที่สูง ถ้าเป้าหมายคือทั้งสองอย่าง ต้องมีอย่างหนึ่งที่ยอมถอย และมักเป็นเป้าหมายนั่นเอง

สูตร

คำถาม