การลู่เข้าในระยะยาว
ค่าเฉลี่ยค่อย ๆ เข้าใกล้ −2.70% อย่างไร และทำไมจึงใช้เวลานานกว่าที่สัญชาตญาณบอก
ผลเฉลี่ยต่อการหมุนลู่เข้าสู่ −1/37 เมื่อจำนวนครั้งที่หมุนสะสมมากขึ้น โดยการกระจายหดลงตาม 1/√N หลังเดิมพันสีแดง 1,000 ครั้ง ค่าเฉลี่ยมักอยู่ภายใน ±3% ของค่าคาดหวัง
กฎว่าด้วยจำนวนมาก
ค่าเฉลี่ยสะสมของเดิมพันที่เป็นอิสระต่อกันเข้าใกล้ค่าคาดหวังคณิตศาสตร์ค่าคาดหวัง(EV) ผลลัพธ์เฉลี่ยต่อเดิมพันในระยะยาว เท่ากับ −1/37 ของเงินเดิมพันสำหรับเดิมพันมาตรฐานทุกแบบของรูเล็ตยุโรปอ่านทั้งหมด → หลังหมุน N ครั้งด้วยเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 ครั้งละหนึ่งหน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด → ผลเฉลี่ยต่อการหมุนมีค่าคาดหวัง −1/37 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคณิตศาสตร์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(SD) รากที่สองของความแปรปรวน คือระยะห่างโดยทั่วไปของผลลัพธ์จากค่าคาดหวังอ่านทั้งหมด → 1/√N ที่ N = 100 การกระจายนั้นคือ 10% ของเงินเดิมพัน เกือบสี่เท่าของสัญญาณ 2.7% ที่ N = 1,000 คือ 3.2% ใกล้เคียงกับสัญญาณ ที่ N = 10,000 คือ 1% และเห็นความได้เปรียบได้ชัดเจน ความได้เปรียบมองไม่เห็นในหนึ่งเซสชัน แต่ชัดแจ้งในหนึ่งปี
อะไรลู่เข้าและอะไรไม่ลู่เข้า
ค่าเฉลี่ยต่อการหมุนลู่เข้า ผลรวมไม่ลู่เข้า: มันเคลื่อนห่างจากศูนย์มากขึ้นเมื่อ N เพิ่ม ราว 2.7% ของ N ตามค่าคาดหวัง โดยมีการกระจาย √N รอบค่านั้น ผู้เล่นที่หมุนมาแล้ว 10,000 ครั้งครั้งละ $10 คาดว่าจะติดลบ $2,700 บวกลบ $1,000 สัดส่วนสะสมของแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →นิ่งอยู่ใกล้ 48.65% มานานแล้ว แต่ยอดคงเหลือสะสมไม่ได้นิ่งอยู่ที่ไหนเลย
- p10 −$440
- p25 −$280
- มัธยฐาน −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
ทำไมสัญชาตญาณจึงผิด
คนคาดว่าความได้เปรียบจะปรากฏเร็วเพราะ 2.70% ฟังดูมาก และคาดว่าการออกติดต่อกันยาว ๆ จะ “เกลี่ยกลับ” เพราะกฎว่าด้วยจำนวนมากคณิตศาสตร์กฎว่าด้วยจำนวนมากค่าเฉลี่ยของผลลัพธ์ที่เป็นอิสระต่อกันลู่เข้าหาค่าคาดหวังเมื่อจำนวนการทดลองเพิ่มขึ้นอ่านทั้งหมด →บอกว่าค่าเฉลี่ยลู่เข้า สัญชาตญาณทั้งสองประเมินขนาดผิด: ความได้เปรียบเล็กเมื่อเทียบกับความแปรปรวนคณิตศาสตร์ความแปรปรวนมาตรวัดว่าผลลัพธ์กระจายรอบค่าคาดหวังกว้างเพียงใด สูงสำหรับสเตรทอัพ ต่ำสำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1อ่านทั้งหมด →ของการหมุนครั้งเดียว (σ = 1 หน่วย เทียบกับ EV = 0.027) จึงต้องหมุน (1/0.027)² ≈ 1,400 ครั้งกว่าจะมองเห็นได้ในระดับหนึ่งซิกมา และการลู่เข้าของค่าเฉลี่ยไม่ได้ดึงผลรวมกลับมาเลย มันแค่เจือจางความผันผวนในอดีต
การลู่เข้าของเดิมพันแบบอื่น
สำหรับสเตรทอัพเดิมพันสเตรทอัพ(Straight Up) เลขเดียว จ่าย 35:1อ่านทั้งหมด → (Straight Up) σ = 5.84 การคำนวณเดียวกันจึงได้ (5.84/0.027)² ≈ 47,000 ครั้งกว่าความได้เปรียบจะถึงหนึ่งซิกมา ผู้เล่นสเตรทอัพอาจเล่นได้หลายปีโดยแยกความได้เปรียบออกจากโชคในบันทึกของตัวเองไม่ได้ ทั้งที่จ่าย 2.70% เท่ากันพอดีกับผู้เล่นสีแดงที่เห็นมันภายในไม่กี่สัปดาห์
ผลต่อการทดสอบระบบเดิมพัน
ใครก็ตามที่อ้างว่าระบบได้ผลควรแสดงให้เห็นได้ตลอดการหมุน 10,000 ครั้งขึ้นไป พร้อมค่าเฉลี่ยที่เป็นบวกซึ่งมีบันทึกไว้ ที่ 1,000 ครั้ง ค่าเฉลี่ยที่เป็นบวกบนเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 เป็นเหตุการณ์แบบหนึ่งในห้า ภายใต้สมมติฐานว่าง ที่ 100 ครั้งแทบเหมือนการโยนเหรียญ เครื่องจำลองบนเว็บไซต์นี้รัน 2,000 เซสชันตามความยาวที่คุณเลือกได้ในหนึ่งวินาที ซึ่งเป็นหลักฐานมากกว่าคำรับรองใด ๆ
สูตร
คำถาม
ความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ที่จะกลับมาได้เงินอีกครั้งลดลงเข้าใกล้ศูนย์ยิ่งเล่นนาน ผลรวมเคลื่อนลงอย่างไม่มีขอบเขต
ไม่ หมายความว่าความผันผวนในอดีตกลายเป็นสัดส่วนที่เล็กลงของตัวอย่างที่ใหญ่ขึ้น
สำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 ราว 10,000 ครั้งก่อนที่ความได้เปรียบจะเห็นชัด สำหรับสเตรทอัพ ราว 50,000 ครั้ง
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
เพื่อนสองคนเล่นเกมที่ยุติธรรมคณิตศาสตร์เกมที่ยุติธรรมเกมที่ไม่มีฝ่ายใดได้เปรียบ: ทุกเดิมพันมีค่าคาดหวังเป็นศูนย์อ่านทั้งหมด → 20 รอบ เช่นโยนเหรียญ หรือแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →กับดำเดิมพันสีดำเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีดำ 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Noirอ่านทั้งหมด →โดยได้เงินเดิมพันคืนเมื่อออกศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด → และจดคะแนนสะสมไว้ นับจำนวนรอบที่แต่ละคนนำอยู่ (ถ้าเสมอให้นับเป็นของคนที่นำอยู่ก่อนหน้านั้น) อะไรมีโอกาสมากกว่ากัน: การนำแบ่งกัน 10 รอบต่อ 10 รอบ หรือเพื่อนคนหนึ่งนำตลอด 20 รอบ?
แสดงเฉลย
คำตอบ เพื่อนคนหนึ่งนำตลอด 20 รอบมีโอกาสมากกว่ามาก: 35.2% นับรวมเพื่อนทั้งสองคน เทียบกับ 6.1% สำหรับการแบ่งเท่ากัน 10 ต่อ 10
โอกาสที่คะแนนสะสมของเกมที่ยุติธรรมจะเสมอกันหลัง 2k รอบคือ u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0.246 หลัง 10 รอบ และ 0.176 หลัง 20 รอบ ผลลัพธ์คลาสสิกที่เรียกว่ากฎอาร์กไซน์ (arc-sine law) บอกว่าโอกาสที่เพื่อนคนที่ระบุไว้จะนำอยู่พอดี 2k รอบจาก 2n รอบคือ u(2k) × u(2n − 2k)
นำตลอด 20 รอบ: u(20) × u(0) = 0.176 สำหรับเพื่อนแต่ละคน รวม 35.2% สำหรับคนใดคนหนึ่ง การแบ่งเท่ากัน: u(10) × u(10) = 0.246² = 6.1% ซึ่งเป็นการแบ่งที่มีโอกาสน้อยที่สุด
ดังนั้นในเกมที่ยุติธรรม การนำแทบไม่เปลี่ยนมือ ผู้เล่นที่นำอยู่ตลอดค่ำ หรือตามหลังตลอดค่ำ ไม่ได้เห็นอะไรผิดปกติ และมันไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับวงล้อหรือฝีมือ เอปสตีน (Epstein, 2013) ให้กฎเดียวกันสำหรับเกมที่ยาวกว่า: ครึ่งหนึ่งของจำนวนครั้ง ฝ่ายที่โชคดีกว่านำอยู่มากกว่า 85% ของเวลาเล่น
การ์ตูนคั่นเวลา
ค่าเฉลี่ยลู่เข้า ส่วนผลรวมเดินจากไปเฉย ๆ
แหล่งที่มา
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.