ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
รากที่สองของความแปรปรวนคณิตศาสตร์ความแปรปรวนมาตรวัดว่าผลลัพธ์กระจายรอบค่าคาดหวังกว้างเพียงใด สูงสำหรับสเตรทอัพ ต่ำสำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1อ่านทั้งหมด →: ระยะห่างโดยทั่วไประหว่างผลลัพธ์กับค่าคาดหวัง
ต่อเงินเดิมพัน $1 σ คือ 5.84 สำหรับสเตรทอัพ และ 1.00 สำหรับสีแดง สำหรับทั้งเซสชันให้คูณด้วยเงินเดิมพันและรากที่สองของจำนวนครั้งที่หมุน
หลักคร่าว ๆ
ราวสองในสามของเซสชันจบภายในหนึ่ง σ จากค่าคาดหวัง และ 95% ภายในสองเท่า สำหรับการหมุน 100 ครั้งที่เดิมพันสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →ครั้งละ $10 (คาดหวัง −$27, σ = $100) เซสชันส่วนใหญ่อยู่ระหว่าง −$127 ถึง +$73 และเกือบทั้งหมดอยู่ระหว่าง −$227 ถึง +$173 ผลลัพธ์ที่อยู่นอกช่วงนั้นไม่ได้เป็นหลักฐานของอะไรเลย นอกจากว่าเซสชันหนึ่งในยี่สิบเซสชันเป็นแบบนั้น
ทำไมต้อง √N
ผลขาดทุนคาดหวังคณิตศาสตร์ผลขาดทุนคาดหวังค่าคาดหวังคูณด้วยยอดเงินที่เดิมพันทั้งหมด คือจำนวนเงินที่เสียโดยเฉลี่ยตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่งอ่านทั้งหมด →เพิ่มตามสัดส่วนของ N ส่วนการกระจายเพิ่มตามสัดส่วนของ √N เมื่อ N น้อย การกระจายเป็นตัวกำหนด และเซสชันเหมือนการโยนเหรียญที่เอียงเล็กน้อย เมื่อ N มาก ผลขาดทุนแซงการกระจาย จุดตัดที่ผลขาดทุนคาดหวังเท่ากับหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคณิตศาสตร์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน(SD) รากที่สองของความแปรปรวน คือระยะห่างโดยทั่วไปของผลลัพธ์จากค่าคาดหวังอ่านทั้งหมด →อยู่ที่ N = (σ/ความได้เปรียบ)² = (1/0.027)² ≈ 1,370 ครั้งสำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 และ (5.84/0.027)² ≈ 46,800 ครั้งสำหรับสเตรทอัพเดิมพันสเตรทอัพ(Straight Up) เลขเดียว จ่าย 35:1อ่านทั้งหมด → (Straight Up) ต่ำกว่าตัวเลขเหล่านั้นโชคเป็นตัวตัดสิน สูงกว่านั้นความได้เปรียบเป็นตัวตัดสิน
การนำไปใช้
ถ้าจะตัดสินว่าเซสชันหนึ่งผิดปกติหรือไม่ ให้คำนวณ (ผลลัพธ์ − EV)/σ ผู้เดิมพันสีแดงครั้งละ $10 ที่จบการหมุน 100 ครั้งที่ +$150 อยู่ที่ (150 + 27)/100 = 1.77σ ผลลัพธ์แบบหนึ่งใน 25 คือโชคดี ไม่ใช่เรื่องน่าทึ่ง ผู้เดิมพันสเตรทอัพที่ +$150 เท่ากันอยู่ที่ 0.3σ คือค่ำคืนธรรมดา ผลลัพธ์เป็นเงินเท่ากันมีความหมายต่างกันในเดิมพันต่างแบบ
ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของสัดส่วน
เลขคณิตเดียวกันบอกว่าต้องหมุนกี่ครั้งจึงจะเห็นความได้เปรียบในข้อมูล ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของสัดส่วนการชนะที่สังเกตได้คือ √(p(1 − p)/N) สำหรับสีแดงที่ N = 1,000: √(0.4865 × 0.5135 / 1000) ≈ 1.6% ส่วนต่างระหว่างเหรียญที่ยุติธรรมกับสีแดงคือ 1.35% หลังหมุน 1,000 ครั้งจึงยังแยกทั้งสองออกจากกันอย่างมั่นใจไม่ได้ หลัง 10,000 ครั้งความคลาดเคลื่อนมาตรฐานคือ 0.5% และแยกได้ นี่คือเหตุผลเดียวกันที่การตรวจหาความเอนเอียงของวงล้อต้องใช้การหมุนจำนวนมาก
ข้อควรระวังเรื่องความเบ้
ผลของสเตรทอัพในเซสชันสั้นห่างไกลจากการแจกแจงปกติมาก: เซสชันส่วนใหญ่ลดลงสม่ำเสมอ −$10 ต่อการหมุน และกระโดดขึ้น +$350 เป็นครั้งคราว กฎ ±1σ อธิบายการกระจายได้ถูกต้อง แต่อธิบายรูปร่างได้ไม่ดีจนกว่า N จะถึงหลักร้อย สำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1เดิมพันเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1แดง / ดำ คี่ / คู่ สูง / ต่ำ ครอบคลุม 18 เลข จ่าย 1:1อ่านทั้งหมด → ค่าประมาณแบบปกติใช้ได้ดีตั้งแต่ราว 30 ครั้ง
สูตร
คำถาม
พิสูจน์ได้แค่ว่าคุณเล่นมาราว 40 เซสชัน หรือบังเอิญอยู่ในหนึ่งในสี่สิบที่โชคดี ลองทำซ้ำดู
แกว่งน้อยลงเรื่อย ๆ: ความคลาดเคลื่อนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยคือ σ/√N เมื่อ N = 10,000 จะเหลือ 1% ของเงินเดิมพัน
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
ในการหมุนวงล้อยุโรป 100 ครั้ง การเดิมพันหนึ่งหน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด →บนสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด →จะได้กำไรเมื่อชนะอย่างน้อย 51 ครั้ง และการเดิมพันหนึ่งหน่วยแบบสเตรทอัพเดิมพันสเตรทอัพ(Straight Up) เลขเดียว จ่าย 35:1อ่านทั้งหมด → (Straight Up) จะได้กำไรเมื่อเลขของมันออกอย่างน้อย 3 ครั้ง ใช้โค้งระฆังประมาณโอกาสทั้งสอง แล้วเทียบกับคำตอบที่แม่นตรง
แสดงเฉลย
คำตอบ สีแดง: โค้งระฆังให้ 35.6% และคำตอบที่แม่นตรงคือ 35.5% สเตรทอัพ: โค้งระฆังให้ 55.0% และคำตอบที่แม่นตรงคือ 50.9% ทางลัดนี้ใช้ได้กับสีแดง แต่พลาดกับเลขเดียว
สีแดง: จำนวนครั้งที่ชนะเฉลี่ย 100 × 18/37 = 48.6 โดยมีการกระจาย √(100 × 18/37 × 19/37) = 5.0 การได้กำไรหมายถึงชนะ 51 ครั้งขึ้นไป จุดกึ่งกลาง 50.5 สูงกว่าค่าเฉลี่ย 0.37 เท่าของการกระจาย และโค้งระฆังให้ 35.6% อยู่เหนือจุดนั้น การบวกโอกาสที่แม่นตรงของการชนะ 51, 52… 100 ครั้งได้ 35.5%
สเตรทอัพ: จำนวนครั้งที่ออกเฉลี่ย 100/37 = 2.70 โดยมีการกระจาย √(100 × 1/37 × 36/37) = 1.62 การออกสามครั้งขึ้นไปหมายถึงมากกว่า 2.5 ซึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 0.12 เท่าของการกระจาย: 55.0% ตามโค้งระฆัง ค่าที่แม่นตรงคือ 1 ลบโอกาสของการออก 0, 1 และ 2 ครั้ง 6.5% + 17.9% + 24.7% ซึ่งเหลือ 50.9%
โค้งระฆังต้องการผลจำนวนมากพอทั้งสองฝั่งของค่าเฉลี่ย สีแดงมีผลเช่นนั้นหลังหมุน 100 ครั้ง แต่เลขที่ออกเฉลี่ยไม่ถึงสามครั้งไม่มี โค้งนี้ยังให้ 8.7% กับ “ไม่ออกเลย” ขณะที่โอกาสจริงคือ 6.5% เทย์เลอร์ (Taylor, 2021) วางการแจกแจงทวินามกับโค้งระฆังไว้เทียบกันแบบเดียวกัน
การ์ตูนคั่นเวลา
เซสชันหนึ่งในยี่สิบอยู่นอกสองซิกมา มีใครสักคนอยู่ที่หางเสมอ
แหล่งที่มา
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.