โจทย์: ลิมิตโต๊ะ
มาร์ติงเกลเริ่ม $10 ที่โต๊ะลิมิต $500 พังบ่อยแค่ไหน เมื่อพังแล้วเสียเท่าไร และการเพิ่มลิมิตช่วยได้หรือไม่?
แพ้ติดต่อกันหกครั้งก็พัง: 1.8% ต่อรอบ ราว 60% ของเซสชันหมุน 100 ครั้ง การพังแต่ละครั้งเสีย $630 การเพิ่มลิมิตเป็น $5,000 ทำให้พังน้อยลง (0.25% ต่อรอบ) แต่เสียหนักขึ้น ($5,110) ผลขาดทุนคาดหวังต่อดอลลาร์ที่เดิมพันคือ 2.70% ที่ลิมิตใดก็ตาม
โจทย์
ผู้เล่นคนหนึ่งเดิมพัน $10 บนสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด → และเพิ่มเป็นสองเท่าหลังแพ้ทุกครั้ง แล้วกลับไปเริ่มใหม่หลังชนะ ลิมิตสูงสุดของโต๊ะคือ $500 (a) ต้องแพ้ติดต่อกันกี่ครั้งการเดินเงินกลยุทธ์การเดินเงินกฎใดก็ตามที่เปลี่ยนเงินเดิมพันตามผลที่ผ่านมา การเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อแพ้จะเพิ่มเงินเดิมพันหลังแพ้ ส่วนการเดินเงินแบบเพิ่มเมื่อชนะจะเพิ่มหลังชนะอ่านทั้งหมด →จึงพัง? (b) ความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ต่อรอบเป็นเท่าไร? (c) เมื่อพังเสียเท่าไร? (d) ลิมิต $5,000 เปลี่ยนคำตอบอย่างไร? (e) มีลิมิตใดที่ทำให้ระบบนี้ได้กำไรหรือไม่?
วิธีทำ (a)–(c)
เงินเดิมพัน: 10, 20, 40, 80, 160, 320 ครั้งที่เจ็ดจะเป็น 640 > 500 แพ้หกครั้งจึงพัง (b) p(แพ้) = 19/37 บนสีแดง (19/37)⁶ = 0.0183 ราว 1.8% ต่อรอบ หนึ่งรอบใช้เวลาราวสองครั้งที่หมุนโดยเฉลี่ย เซสชันหมุน 100 ครั้งจึงมีราว 50 รอบ และ p(พังอย่างน้อยหนึ่งครั้ง) ≈ 1 − 0.9817⁵⁰ ≈ 60% (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630 ซึ่งเท่ากับ 63 หน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด →ฐาน เทียบกับ $10 ที่รอบนั้นพยายามจะได้
วิธีทำ (d)
ที่ $5,000: เงินเดิมพันถึง 2,560 ได้ เงินเดิมพันครั้งที่สิบ 5,120 ถูกปฏิเสธ แพ้เก้าครั้งจึงพัง: (19/37)⁹ ≈ 0.25% ต่อรอบ ราว 11% ของเซสชันหมุน 100 ครั้ง เงินที่เสียเมื่อพัง: 10 + 20 + … + 2,560 = $5,110 ผู้เล่นได้ซื้อหายนะที่เกิดน้อยลงด้วยราคาของหายนะที่ใหญ่ขึ้น เมื่อเล่นหลายเซสชัน ต้นทุนคาดหวังของการพังคือ p × เงินที่เสีย ≈ 0.0183 × 630 = $11.5 ต่อรอบที่ลิมิต $500 และ 0.0025 × 5,110 = $12.8 ที่ $5,000 ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวกันเมื่อคิดถึงการปัดเศษ และเป็นผลขาดทุนคาดหวังคณิตศาสตร์ผลขาดทุนคาดหวังค่าคาดหวังคูณด้วยยอดเงินที่เดิมพันทั้งหมด คือจำนวนเงินที่เสียโดยเฉลี่ยตลอดเซสชันหรือช่วงเวลาหนึ่งอ่านทั้งหมด →ของรอบ ลบด้วย $10 ที่รอบที่ชนะได้มา
วิธีทำ (e)
ไม่มี ผลขาดทุนคาดหวังต่อรอบ = (เงินเดิมพันรวมที่คาดหวังในรอบ) / 37 ที่ลิมิตใดก็ตาม เพราะแต่ละเดิมพันเป็น −1/37 ของตัวเอง ลิมิตแค่กำหนดว่าผลขาดทุนจะกระจายระหว่างการชนะเล็ก ๆ หลายครั้งกับการเสียก้อนใหญ่ไม่กี่ครั้งอย่างไร ถ้าไม่มีลิมิตและมีเงินทุนเงินเงินทุนจำนวนเงินทั้งหมดที่กันไว้สำหรับเล่น การบริหารเงินทุนคือการตัดสินใจว่าจะเสี่ยงเท่าใดต่อเดิมพันและต่อเซสชันอ่านทั้งหมด →ไม่จำกัด การเดินเงินนี้จะ “ได้ผล” ในแง่ที่ไม่มีวันพัง และก็จะเดิมพันเป็นจำนวนไม่จำกัด โดยมีผลขาดทุนคาดหวัง 2.70% ของจำนวนไม่จำกัดนั้นด้วย ลิมิตโต๊ะโต๊ะลิมิตโต๊ะเดิมพันต่ำสุดและสูงสุดที่อนุญาต ลิมิตสูงสุดคือสิ่งที่หยุดการเดินเงินแบบเพิ่มเป็นสองเท่าอ่านทั้งหมด →ไม่ใช่สิ่งที่ทำให้มาร์ติงเกลกลยุทธ์มาร์ติงเกลการเดินเงินที่เพิ่มเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้แต่ละครั้ง ดูหมวดกลยุทธ์ว่าระบบนี้ทำอะไรได้และทำอะไรไม่ได้อ่านทั้งหมด →ใช้ไม่ได้ เลขคณิตต่างหาก
โต๊ะจริงสองโต๊ะ
ตัวอย่างของทอร์ป (Thorp) คือโต๊ะ $1 ที่มีลิมิตสูงสุด $1,000 ซึ่งผู้เล่นหวังจะได้ $30 ไว้เป็นค่าอาหารเย็นทีละ $1 เงินเดิมพัน 1, 2, 4 … 512 เดิมพันได้สิบครั้ง การแพ้ติดต่อกันสิบครั้งจึงทำให้การเดินเงินพัง ซึ่งเกิดครั้งหนึ่งใน 785 รอบบนวงล้อยุโรป (ครั้งหนึ่งใน 613 รอบบนวงล้ออเมริกัน) และเสีย $1,023 สามสิบรอบสำเร็จทั้งหมด 96.2% ของจำนวนครั้ง อีก 3.8% เสียราว $1,000 และผลเฉลี่ยของค่ำคืนนั้นคือ −$9.17 ซึ่งเท่ากับ 1/37 ของ $339 ที่สามสิบรอบใช้เดิมพันโดยเฉลี่ยพอดี โต๊ะ $5 ที่มีลิมิตสูงสุด $2,000 ก็ไม่ต่างกัน: เงินเดิมพันถึง $1,280 เดิมพันได้เก้าครั้ง การพังเกิดครั้งหนึ่งใน 403 รอบบนวงล้อยุโรป (ครั้งหนึ่งใน 323 รอบบนวงล้ออเมริกัน) และเสีย $2,555
ผู้เล่นที่มีเงินทุนมาก
ให้การเดินเงินมีเงินทุนก้อนใหญ่แทนลิมิตต่ำ: 1,000 หน่วย ฐานหนึ่งหน่วย และหมุน 1,000 ครั้งโดยเดิมพันสีแดง เริ่มใหม่ที่หนึ่งหน่วยทุกครั้งที่เงินเดิมพันซึ่งเพิ่มเป็นสองเท่าในครั้งถัดไปมากกว่าเงินที่เหลืออยู่ เราจำลองค่ำคืนแบบนี้หนึ่งล้านครั้ง บนวงล้อยุโรป 52% จบด้วยกำไร 21% เสียทั้งหมด และผลเฉลี่ยคือ −124 หน่วย แม้แต่ในเกมที่ไม่มีศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด → ซึ่งทุกเดิมพันยุติธรรม ก็จบด้วยกำไรเพียงราว 60% ค่ำคืนตามปกติคือการชนะเล็กน้อย ส่วนค่าเฉลี่ยถูกจ่ายด้วยค่ำคืนที่จบลงโดยไม่เหลือเงินเลย
บทเรียน
คาสิโนตั้งลิมิตเพื่อจำกัดความแปรปรวนคณิตศาสตร์ความแปรปรวนมาตรวัดว่าผลลัพธ์กระจายรอบค่าคาดหวังกว้างเพียงใด สูงสำหรับสเตรทอัพ ต่ำสำหรับเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1อ่านทั้งหมด →ของตัวเอง ไม่ใช่เพื่อเอาชนะระบบเดิมพัน การเอาชนะมาร์ติงเกลเป็นผลพลอยได้ที่คาสิโนยินดีรับ และเลขคณิตก็จะเอาชนะมันอยู่ดี ผู้เล่นที่คิดว่าลิมิตคือปัญหาได้พบหน้าผาแล้ว แต่เข้าใจผิดว่ามันคือทางลาด
สูตร
คำถาม
ทำให้อยู่รอดไปถึงลิมิตที่สูงขึ้นได้ ซึ่งการพังเกิดน้อยลงแต่ใหญ่ขึ้น ผลขาดทุนคาดหวังต่อดอลลาร์ไม่เปลี่ยน
เงินเดิมพัน 10, 30, 70, 150, 310: ชนลิมิต $500 หลังแพ้ห้าครั้ง และการพังเสีย $570 เป็น 2.70% เหมือนเดิม
เพื่อไม่ให้ผู้เล่นคนเดียวเดิมพันมากเกินกว่าที่เงินสำรองของคาสิโนจะจ่ายได้สบาย ๆ เป็นการบริหารความแปรปรวน
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
ระบบมาร์ติงเกลกลยุทธ์มาร์ติงเกลการเดินเงินที่เพิ่มเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้แต่ละครั้ง ดูหมวดกลยุทธ์ว่าระบบนี้ทำอะไรได้และทำอะไรไม่ได้อ่านทั้งหมด →เริ่มที่ $100 บนสีแดงเดิมพันสีแดงเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 บนเลขสีแดง 18 เลข ภาษาฝรั่งเศส: Rougeอ่านทั้งหมด → และยอมให้ตัวเองเดิมพันได้ไม่เกิน n ครั้งต่อหนึ่งรอบ: หลังแพ้ติดต่อกัน n ครั้งก็ยอมแพ้และเริ่มใหม่ เขียนผลเฉลี่ยของหนึ่งรอบเป็นสูตรของ n และคำนวณสำหรับ 5, 6 และ 7 ครั้งบนวงล้อยุโรป
แสดงเฉลย
คำตอบ ค่าเฉลี่ยคือ 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14.26 สำหรับ 5 ครั้ง −$17.35 สำหรับ 6 ครั้ง และ −$20.52 สำหรับ 7 ครั้ง การยอมให้เดิมพันได้มากครั้งขึ้นทำให้รอบโดยเฉลี่ยแย่ลง ไม่ใช่ดีขึ้น
หนึ่งรอบชนะ $100 เว้นแต่จะแพ้ทั้ง n ครั้ง ซึ่งเกิดขึ้นด้วยโอกาส qⁿ โดย q = 19/37 เมื่อแพ้ทั้งหมด เงินเดิมพัน 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ รวมกันได้ 100 × (2ⁿ − 1) ดังนั้นค่าเฉลี่ยคือ 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ)
ในที่นี้ 2q = 38/37 มากกว่า 1 เล็กน้อย (2q)ⁿ จึงโตขึ้นตาม n และค่าเฉลี่ยลดลง: n = 5 ได้ 1.1426 และ −$14.26 ส่วน n = 6 ได้ 1.1735 และ −$17.35 และ n = 7 ได้ 1.2052 และ −$20.52 บันไดที่ยาวขึ้นแพ้น้อยครั้งลง คือใน 3.6%, 1.8% และ 0.9% ของรอบ แต่การแพ้แต่ละครั้งใหญ่ขึ้นสองเท่า และมีเงินผ่านโต๊ะมากขึ้นในแต่ละรอบ ที่ 2.70% ของทุกเดิมพัน
บนวงล้ออเมริกัน 2q = 40/38 และตัวเลขคือ −$29.24, −$36.04 และ −$43.20 (เทย์เลอร์ (Taylor), 2021) ในเกมที่ไม่มีศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด → 2q = 1 และทุกรอบมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์พอดีไม่ว่าบันไดจะยาวเท่าไร
“มาร์ติงเกลใหญ่” (grand Martingale) เพิ่มเงินเดิมพันเป็นสองเท่าหลังแพ้แล้วบวกอีกหนึ่งหน่วยเงินหน่วยเงินเดิมพันฐานที่ระบบหรือผู้เล่นใช้เป็นหลัก การเดินเงินบรรยายเป็นหน่วยเพื่อให้ใช้ได้กับทุกโต๊ะอ่านทั้งหมด → เงินเดิมพันจึงเป็น 1, 3, 7, 15, 31 … คุณได้กำไรเท่าไรเมื่อชนะครั้งแรกที่เดิมพันครั้งที่ 1, 2, 3 หรือครั้งที่ k? ที่หน่วยละ $10 และลิมิตสูงสุด $500 รอบหนึ่งพังบ่อยแค่ไหน และรอบหนึ่งเสียเงินโดยเฉลี่ยเท่าไร?
แสดงเฉลย
คำตอบ การชนะที่เดิมพันครั้งที่ k ทำให้ได้กำไร k หน่วย: +1, +2, +3 ไปเรื่อย ๆ ที่ $10 และ $500 รอบหนึ่งพังหลังแพ้ห้าครั้ง คือ 3.57% ของรอบ เสีย −$570 โดยเฉลี่ยรอบหนึ่งเสีย $2.32 จากเงินเดิมพัน $85.73 คือ 2.70%
เงินเดิมพันครั้งที่ k คือ 2ᵏ − 1 หน่วย: 1, 3, 7, 15, 31 เงินเดิมพัน k − 1 ครั้งแรกรวมกันได้ 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1 การชนะที่เดิมพันครั้งที่ k จ่าย 2ᵏ − 1 รอบจึงจบด้วยกำไร (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k หน่วย คือได้เพิ่มหนึ่งหน่วยต่อการแพ้แต่ละครั้งก่อนชนะ
ที่หน่วยละ $10 เงินเดิมพันคือ $10, $30, $70, $150 และ $310 ครั้งถัดไปคือ $630 ซึ่งเกินลิมิตสูงสุด $500 การแพ้ห้าครั้งติดต่อกัน (19/37)⁵ = 3.57% ทำให้เสีย 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570
ค่าเฉลี่ย: การชนะได้ $10 × k ด้วยโอกาส (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 สำหรับ k = 1 ถึง 5 และการพังเสีย $570 ด้วยโอกาส 3.57% รวมกันได้ −$2.32 เงินเดิมพันเฉลี่ยต่อรอบคือ $85.73 และ 2.32/85.73 = 2.70% มาร์ติงเกลธรรมดาที่โต๊ะเดียวกันพังหลังแพ้หกครั้ง คือ 1.83% ของรอบ เสีย −$630 และเสีย $1.74 จากเงินเดิมพัน $64.20 คือ 2.70% อีกเช่นกัน
ผู้เล่นคนหนึ่งวางแผนใช้มาร์ติงเกลบนสีแดง เริ่มเดิมพันแรก $1 ที่โต๊ะซึ่งมีลิมิต $1,000 จึงเดิมพันได้สิบครั้ง: $1, $2, $4 ไปเรื่อย ๆ จนถึง $512 รอบหนึ่งแพ้ทั้งสิบครั้งบ่อยแค่ไหน โดยเฉลี่ยต้องใช้เวลานานเท่าไรกว่าจะเกิด และค่ำคืนที่เดิมพัน 200 ครั้งจะจบแบบนั้นบ่อยแค่ไหน?
แสดงเฉลย
คำตอบ รอบหนึ่งแพ้ทั้งสิบครั้งราวหนึ่งครั้งใน 784 รอบ ทำให้เสีย $1,023 นั่นคือโดยเฉลี่ยราว 1,600 เดิมพัน และค่ำคืนที่เดิมพัน 200 ครั้งชนกำแพงนี้ราว 11% ของจำนวนครั้ง โดยเฉลี่ยรอบหนึ่งยังคงเสีย $0.31 จากเงินเดิมพัน $11.31 คือ 2.70%
เดิมพันสีแดงแพ้ด้วยโอกาส 19/37 รวมศูนย์ด้วย แพ้สิบครั้งติดต่อกัน: (19/37)¹⁰ ≈ 0.00128 หรือราว 1 ใน 784 เงินเดิมพัน 1 + 2 + 4 + … + 512 รวมกันได้ $1,023
รอบหนึ่งใช้เฉลี่ย 2.05 เดิมพัน 784 รอบจึงใช้ราว 1,600 เดิมพัน เมื่อนับทีละการหมุน การแพ้สิบครั้งติดต่อกันจะปรากฏที่ใดที่หนึ่งใน 200 เดิมพัน 11.3% ของจำนวนครั้ง
ระหว่างหายนะแต่ละครั้ง ผู้เล่นชนะ $1 ต่อรอบ: ราว $783 ก่อนรอบที่พัง จากนั้น −$1,023 รวมทั้งช่วงราว −$240 ต่อรอบ: 1 × (1 − 0.00128) − 1,023 × 0.00128 ≈ −$0.31 เงินเดิมพันต่อรอบ: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11.31 และ −0.31/11.31 = −2.70%
เปรียบเทียบกับเดิมพันแรก $10 ที่ลิมิต $500 ซึ่งเดิมพันได้หกครั้ง: กำแพงมาถึงหนึ่งครั้งใน 55 รอบ และค่ำคืนที่เดิมพัน 200 ครั้งชนกำแพงนี้ 84% ของจำนวนครั้ง ลิมิตที่สูงขึ้นทำให้การพังเกิดน้อยลงและหนักขึ้น ไม่ได้ทำให้ถูกลง
การ์ตูนคั่นเวลา
เกิดน้อยลงแต่ใหญ่ขึ้น ที่ทุกลิมิต ผลคูณคงที่
แหล่งที่มา
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.