โจทย์: วงล้อวันเกิด
ต้องหมุนกี่ครั้งก่อนจะมีเลขใดเลขหนึ่งออกซ้ำ? น้อยกว่าที่คนส่วนใหญ่เดามาก
ปัญหาวันเกิดบนวงล้อ 37 ช่องอุปกรณ์ช่องช่องที่มีเลขกำกับแต่ละช่องจากทั้งหมด 37 ช่องบนโรเตอร์ เรียกอีกอย่างว่า slot หรือ cupอ่านทั้งหมด →: หลังหมุนเพียง 8 ครั้ง โอกาสที่มีเลขใดเลขหนึ่งออกมาแล้วสองครั้งก็สูงกว่าครึ่ง ผู้เล่นมองการออกซ้ำเป็นรูปแบบ แต่มันคือพฤติกรรมที่คาดได้ของวงล้อที่เที่ยงตรง
โจทย์
หมุนวงล้อยุโรปที่เที่ยงตรง ต้องหมุนกี่ครั้งจนความน่าจะเป็นคณิตศาสตร์ความน่าจะเป็นโอกาสของผลลัพธ์หนึ่ง มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1 หรือ 0% ถึง 100% เลขเดียว: 1/37 = 2.70%อ่านทั้งหมด →ที่การหมุนอย่างน้อยสองครั้งออกเลขเดียวกันจะเกินครึ่ง? ผู้เล่นส่วนใหญ่เดาราว 18 หรือ 19 ซึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของ 37 คำตอบคือ 8
วิธีทำ
ให้คำนวณความน่าจะเป็นที่ไม่มีการออกซ้ำ แล้วลบออกจากหนึ่ง หลังหมุน k ครั้ง p(ต่างกันทั้งหมด) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37) สำหรับ k = 8: 1 × 0.973 × 0.946 × 0.919 × 0.892 × 0.865 × 0.838 × 0.811 ≈ 0.44 ดังนั้น p(มีการออกซ้ำ) ≈ 0.56 สำหรับ k = 14 คือ 0.93 สำหรับ k = 20 คือ 0.996 สัญชาตญาณผิดเพราะจำนวนคู่ของการหมุนเพิ่มขึ้นตาม k² และคู่ใดก็ตรงกันได้
ทำไมเรื่องนี้สำคัญที่โต๊ะ
กระดานแสดงผล 20 เลขล่าสุดแทบจะมีการออกซ้ำอย่างน้อยหนึ่งครั้งเสมอ บ่อยครั้งสองหรือสามครั้ง ผู้เล่นเห็นว่า “เลข 17 ออกสองครั้งในการหมุนสิบครั้ง” แล้วสรุปว่าเลข 17 กำลังร้อน เลขคณิตแบบวันเกิดบอกว่าการออกซ้ำภายในสิบครั้งเกิดขึ้น 74% ของจำนวนครั้ง และเลขที่ออกซ้ำเป็นเลขสุ่ม รูปแบบนั้นมีจริง แต่ความหมายไม่มี
โจทย์ต่อเนื่อง
ต้องหมุนกี่ครั้งจนเลขที่เจาะจง เช่น 17 ออกสองครั้ง? นั่นเป็นคำถามอีกข้อที่คำตอบใหญ่กว่ามาก: ระยะรอที่คาดหวังคือ 74 ครั้ง และความน่าจะเป็นที่เลข 17 ออกสองครั้งภายใน 20 ครั้งราว 10% ความต่างระหว่าง “มีเลขใดเลขหนึ่งออกซ้ำ” (8 ครั้ง) กับ “เลขนี้ออกซ้ำ” (74 ครั้ง) คือความต่างทั้งหมดระหว่างรูปแบบที่สังเกตเห็นภายหลังกับการทำนายที่ทำไว้ล่วงหน้า
ลองดู
เล่นเกมทดลองสักสิบครั้งแล้วดูประวัติ มักจะมีการออกซ้ำ เล่นอีกครั้ง เลขที่ออกซ้ำจะเป็นคนละเลข ทำแบบนี้สิบรอบแล้วคุณจะได้เห็นปัญหาวันเกิดคณิตศาสตร์ปัญหาวันเกิดต้องมีคนกี่คนจึงน่าจะมีสองคนที่วันเกิดตรงกัน หรือต้องหมุนกี่ครั้งจึงน่าจะมีเลขออกซ้ำ บนวงล้อ 37 ช่อง การหมุน 8 ครั้งก็พอให้โอกาสดีกว่าครึ่งต่อครึ่งอ่านทั้งหมด → ทำพันรอบ (เครื่องจำลองทำได้) แล้วคุณจะได้วัดมัน
สูตร
คำถาม
ใช่ ทุกประการ เพียงแต่มี 37 ช่องแทน 365 วัน คน 23 คนให้โอกาส 50% สำหรับวันเกิด การหมุน 8 ครั้งให้ 56% สำหรับวงล้อ
50% หลังหมุนราว 19 ครั้ง ก็ยังเป็นเรื่องปกติ
ไม่ การหมุนหลายพันครั้งจากวงล้อวงเดียวอาจบ่งบอกได้ แต่การออกซ้ำไม่เคยบ่งบอก
สนุกกับคณิตศาสตร์
ลองทำเองก่อน เฉลยแต่ละข้อพับซ่อนไว้ เปิดดูเมื่อพร้อม
กระดานแสดงผลข้างวงล้ออเมริกันแสดงผลการหมุน 16 ครั้งล่าสุด มีความน่าจะเป็นเท่าไรที่ไม่มีเลขใดปรากฏซ้ำบนกระดาน?
แสดงเฉลย
คำตอบ ราว 2.5%: กระดานราว 39 ใน 40 แผ่นแสดงเลขซ้ำอย่างน้อยหนึ่งตัว
ไล่ไปทีละครั้ง การหมุนครั้งแรกออกอะไรก็ได้ ครั้งที่สองต้องไม่ตรงกับครั้งแรก: 37 ใน 38 ครั้งที่สามต้องไม่ตรงกับทั้งสอง: 36 ใน 38 ครั้งที่สิบหกต้องไม่ตรงกับเลขสิบห้าตัว: 23 ใน 38
คูณกัน: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0.0246
กระดานที่ไม่มีเลขซ้ำคือกรณีที่หายาก กระดานที่มีเลขซ้ำไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับวงล้อเลย
ในการหมุนวงล้อยุโรปสิบครั้ง โอกาสที่เลข 17 จะออกห้าครั้งพอดีเป็นเท่าไร? โอกาสที่เลขใดเลขหนึ่งจะออกห้าครั้งขึ้นไปล่ะ? และโอกาสที่เลขใดเลขหนึ่งจะออกอย่างน้อยสามครั้งในการหมุนสี่ครั้ง?
แสดงเฉลย
คำตอบ เลข 17 ออกห้าครั้งพอดี: 1 ใน 315,576 เลขใดเลขหนึ่งออกห้าครั้งขึ้นไป: ราว 1 ใน 8,333 เลขใดเลขหนึ่งออกสามครั้งขึ้นไปในการหมุนสี่ครั้ง: 1 ใน 349
เลข 17 ออกห้าครั้ง: เลือกว่าเป็นการหมุนห้าครั้งใดจากสิบครั้ง ได้ 252 แบบ แต่ละแบบมีโอกาส (1/37)⁵ × (36/37)⁵ รวมกันเป็น 1 ใน 315,576
เลขใดเลขหนึ่ง: เลขแต่ละตัวจาก 37 ตัวมีโอกาส 1 ใน 308,325 ที่จะออกห้าครั้งขึ้นไป รวมได้ 37 ใน 308,325 หรือ 1 ใน 8,333 กรณีที่พบได้ยากซึ่งสองเลขออกเลขละห้าครั้งถูกนับซ้ำ แต่การหักออกไม่ได้เปลี่ยนอะไรเลยที่ความละเอียดระดับนี้
สามครั้งในการหมุนสี่ครั้ง: สำหรับเลขหนึ่งตัวคือ 4 × 36 + 1 = 145 จากผลที่เป็นไปได้ 37⁴ แบบ สำหรับเลขใดก็ได้จาก 37 ตัวคือ 145/37³ = 1 ใน 349
Wizard of Odds ตอบคำถามเหล่านี้ฉบับวงล้อศูนย์วงล้อศูนย์ช่องสีเขียวช่องเดียวที่ไม่มีเดิมพันจ่าย 1 ต่อ 1 โดเซน หรือคอลัมน์ใดครอบคลุม เป็นที่มาของความได้เปรียบของเจ้ามือ เรียกอีกอย่างว่าศูนย์เดี่ยว หรือ 0อ่านทั้งหมด →คู่ไว้ ตัวเลขของเราสำหรับวงล้อนั้นคือ 1 ใน 359,275, 1 ใน 9,243 และ 1 ใน 368 ช่องว่างระหว่าง “17” กับ “เลขใดเลขหนึ่ง” คือปัญหาวันเกิดคณิตศาสตร์ปัญหาวันเกิดต้องมีคนกี่คนจึงน่าจะมีสองคนที่วันเกิดตรงกัน หรือต้องหมุนกี่ครั้งจึงน่าจะมีเลขออกซ้ำ บนวงล้อ 37 ช่อง การหมุน 8 ครั้งก็พอให้โอกาสดีกว่าครึ่งต่อครึ่งอ่านทั้งหมด →อีกครั้ง: มี 37 ทางที่จะทำให้ประหลาดใจ
การ์ตูนคั่นเวลา
มีบางอย่างออกซ้ำเร็ว และบางอย่างนั้นเป็นเรื่องสุ่ม
แหล่งที่มา
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. “Ask the Wizard” คำถามเรื่องรูเล็ต